A ⊂ B ⊂ X ⇒ f(A) ⊂ f(B)
Mache dir klar was f(A) bedeutet, dass sind alle Funktionswerte,
die zu irgendeinem Element x∈A gehören, also Werte y∈Y,
für die es ein x∈A gibt mit f(x)=y.
Sei also A ⊂ B ⊂ X . Um zu zeigen f(A) ⊂ f(B)
gehst du - wie meistens bei Teilmengenbeweisen -
so vor: Es sei y∈f(A) . zu zeigen y∈f(A).
Sei also y∈f(A). Nach Def. von f(A) gibt es ein
x∈A mit f(x) = y. Wegen A ⊂ B ist dieses x auch in B,
also x∈B und f(x)=y . Damit ist also y∈f(B) . q.e.d.
So ähnlich geht auch (b). Teile es auf in
f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B) und f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B) .
