Extremwertproblem Stadion Flächeninhalt

Question

Für die WM 2014 in Brasilien müssen noch neue Stadien gebaut werden. Damit eines der Stadien auch im Anschluss an die WM für Leichtathletikveranstaltungen genutzt werden kann, soll das Sportstadion folgenden Anforderungen genügen:

Es soll mit einer 400-m Laufbahn aus 2 parallelen Geraden und zwei angesetzten halbkreisförmigen Strecken so angelegt sein, dass die Fläche eines eingeschlossenen Rechtecks möglichst groß wird.

!!

Answer 1

f ( x ) = x * 2 y -> max.

Nebenbedingung (Länge der Laufbahn):

2 x  + 2  π  y = 400

<=> y = ( 400 - 2 x ) /  2 π = ( 200 - x ) / π

Einsetzen in f ( x ) :

f ( x ) = x * 2 * ( ( 200 - x ) / π )

= ( 400 x - 2 x ² ) / π

 

f ' ( x ) = ( 400  - 4 x  ) / π

f ' ( x ) = 0

<=> ( 400 - 4 x ) / π = 0

<=> 400 - 4 x = 0

<=> x = 100

=> y = ( 200 - 100 ) / π ≈31,83 m

 

f_max = x * 2 y = 100 * 63,66 = 6366 m ²

Comments

Du hast geschrieben: f(x)=(400x-2x^2)/pi

Wie kommst du dann auf f(x)=(400-4x)/pi warum fallen da 2 x weg?

und dann hast du f(x)=0 geschrieben? Warum soll man das einfach 0 setzten, wie kommt man darauf?

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Wie kommst du dann auf f(x)=(400-4x)/pi

Schau mal genau in:

Ich schrieb:

f ^Strich ( x ) = (400-4x)/pi

f ' ( x ) ist die erste Ableitung von f ( x ). Hattet ihr das noch nicht?

Warum soll man das einfach 0 setzten,

So löst man in der Regel Extremwertaufgaben. Man nimmt die Funktion, deren Extremwerte man bestimmen will , bestimmt deren erste Ableitung und setzt diese gleich Null. Nur dort, wo die 1. Ableitung von f ( x ) den Wert 0 annimmt, können Extremstellen vorliegen.