Oberfläche, Volumen Pyramide Ebene

Question

Aufgabe:

A(-3/0/0) B(3/0/0) C(0/6/0) D(0/3/5)

Oberfläche und Volumen (Pyramide) ABCD soll berechnet werden.

Die Punkte B,C und D sind in der Ebene E. Eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform muss bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei diesen 2 Aufgaben behilflich sein. Danke.

Answer 1

Aloha :)

Teil 1: Volumen

Eine Pyramide endet in einer Spitze. Ihr Volumen ist daher$$V=\frac13\cdot\text{Grundfläche}\cdot\text{Höhe}$$Die Punkte \(A,B,C\) haben alle die \(z\)-Koordinate \(0\), bilden also ein Dreieck in der \(xy\)-Ebene. Seine Fläche bestimmen wir mit dem Vektorprodukt:$$F=\frac{1}{2}\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right\|=\frac12\left\|\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\6\\0\end{pmatrix}\right\|=\frac12\left\|\begin{pmatrix}-6\\0\\36\end{pmatrix}\right\|=\frac{\sqrt{(-6)^2+36^2}}{2}\approx18,2483$$Die Höhe der Pyramide ist \(5\), weil der Punkt \(D\) die \(z\)-Koordinate \(5\) hat.$$V=\frac13\cdot18,2483\cdot5\approx30,4138\,\mathrm{VE}$$

Teil 2: Koordinatengleichung

Wir nehmen Punkt \(B\) als Ankerpunkt. Dann brauchen wir einen Vektor, der auf \(\overrightarrow{BC}\) und auf \(\overrightarrow{BD}\) senkrecht steht:$$\vec n=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}=\left(\vec c-\vec b\right)\times\left(\vec d-\vec b\right)=\begin{pmatrix}-3\\6\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\\15\\9\end{pmatrix}$$Die Koordinatengleichung lautet nun:$$\vec n\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\vec n\cdot\vec b\implies\begin{pmatrix}30\\15\\9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}30\\15\\9\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\implies30x+15y+9z=90$$Wir dividieren noch beide Seiten der Gleichung durch \(3\) und erhalten:$$E_{BCD}\colon\;10x+5y+3z=30$$

Comments

So, jetzt ist sie komplett. Ich hatte übersehen, dass auch das Volumen der Pyramide bestimmt werden sollte.

Answer 2

A(-3/0/0) B(3/0/0) C(0/6/0) D(0/3/5)
Oberfläche und Volumen (Pyramide) ABCD sollen berechnet werden.

Die Flächen sind alles Dreiecke.

Bilde z.B. für ABC die Vektoren AB und AC und

berechne deren Kreuzprodukt. Die Hälfte dessen

Betrages ist die Flächenmaßzahl für das Dreieck. etc.

Für das Volumen bilde das Spatprodukt der

Vektoren AD und BD und CD und nimm

davon 1/6.

Die Punkte B,C und D sind in der Ebene E. Eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform muss bestimmt werden.

Wähle den Ansatz E: ax +by + cz =1 (Die Ebene geht ja nicht durch (o;o;o))

und setze für xyz der Reihe nach die Koordinaten von B,C und D ein.

Dann hast du 3 Gleichungen zur Berechnung von abc.

Answer 3

Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte der vier Dreiecke.

Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken \(P\), \(Q\) und \(R\) ist

        \(\frac{1}{2}\cdot\left|\vec{PQ}\times\vec{PR}\right|\).

Volumen ist

        \(\frac{1}{3}\cdot G\cdot h\)

wobei \(G\) die Grundfläche ist und \(h\) die Höhe.

Wenn du das Dreieck \(ABC\) als Grundfläche verwendest, dann ist die Höhe offensichtlich \(5\).

Ebene \(E\) in Koordinatenform bekommst du indem du

        \(\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\vec{OB}\right)\cdot\left(\vec{BC}\times\vec{BD}\right) = 0\)

ausrechnest.