Anzahl der Lösungen der Gleichung bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Anzahl aller Lösungen der Gleichung: x+y+z+t=15 mit x,y, z, t ∈ ℕ.

Die 0 zählt in der Vorlesung nicht zu den natürlichen Zahlen. Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen muss

Comments

Hat schon jemand gefragt, ob es auf die Reihenfolge der Summanden ankommt oder nicht?

Answer 1

Hallo,

deine Idee ist richtig. Allerdings musst du herausfinden, auf wie viele Arten das möglich ist.

Ich fange mal an:

1+1+1+12

1+1+2+11

1+1+3+10

...

1+1+12+1  → 12 Möglichkeiten

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1+2+1+11

1+2+2+10

...

1+2+11+1 → 11 Möglichkeiten

-----

...

1+12+1+1 → 1 Möglichkeit

Wenn x=1 ist, gibt es 1+2+...+12=78 Möglichkeiten, die Summe 15 zu erzielen.

...

Für x=11--> 3 Möglichkeiten

11+1+1+2; 11+1+2+1; 11+2+1+1

Wenn x=12 ist, gibt es nur 12+1+1+1=15.

Daher vermute ich:

\(1+(1+2)+(1+2+3)+...+(1+2+...+12)\\= \sum \limits_{i=1}^{12}\left(\sum \limits_{k=1}^{i} k\right)=364 \)

(Ohne Gewähr!)

☺

Comments

Okay, hatte es bearbeitet. Dachte wäre falsch

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Welches Ergebnis hast du denn raus?

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Alles was ich bis jetzt aufgeschrieben habe als Notiz, dass ich 4 Variablen habe und am Ende 15 raushaben muss. Weiter weiß ich nicht..

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Ich habe mal angefangen.

:-)

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Es gilt ja

m

n

=

m

m-n

Gilt dann m=15 und n=4? Oder habe ich einen Denkfehler?

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Was m und n sein sollen, weiß ich nicht.

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Wir haben mit dem Thema Kombinatorik angefangen und das war die Formel, die wir unter Anderem kennengelernt haben

Bzw auch die Formel

m!

n!(m-n)!

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Bei dieser Aufgabe kannst du diese Formel leider nicht benutzen.

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Was m und n sein sollen, weiß ich nicht.

Das herauszufinden ist doch genau die Aufgabe.
Den Zahlenwert anschließend auszurechnen dürfte dann wohl kein Problem mehr darstellen.

Bei dieser Aufgabe kannst du diese Formel leider nicht benutzen

Doch !

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Bei dieser Aufgabe kannst du diese Formel leider nicht benutzen.

Ok, dann so:

Leider weiß ich nicht, wie du diese Formel anwenden kannst, aber ich hoffe es herauszufinden.

:-)

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@hj2166

Was m und n sein sollen, weiß ich nicht.
Das herauszufinden ist doch genau die Aufgabe.
Den Zahlenwert anschließend auszurechnen dürfte dann wohl kein Problem mehr darstellen.

Verrätst du es denn?

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Also wie gesagt: Ich würde sagen, dass m=15 gilt, aber bei n bin ich mir doch nicht mehr so sicher..

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Summe 15 mit 4 natürlichen Summanden aber ohne 0, also (14 über 3) = 364.

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Aha, also (15-1) über (4-1). Das wusste ich noch nicht.

Danke für den Hinweis.

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Im Wikipedia-Artikel findest du mehr dazu.

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Werde ich demnächst mal lesen.