Aloha :)
Beim Roulette gibt es \(37\) mögliche Ausgänge mit den Zahlenwerten von \(0\) bis \(36\). Das letzte Dutzend umfasst die Ausgänge von \(25\) bis \(36\). Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Spiel eine Zahl aus dem letzten Dutzend fällt, beträgt daher \(p=\frac{12}{37}\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau beim \(n\)-ten Spiel genau zum \(x\)-ten Mal eine Zahl aus dem letzten Dutzend fällt, beträgt daher:$$p=\underbrace{\binom{n-1}{x-1}\cdot\left(\frac{12}{37}\right)^{x-1}\cdot\left(\frac{25}{37}\right)^{(n-1)-(x-1)}}_{\text{genau (x-1)-mal das letzte Dutzend in den vorigen (n-1) Spielen}}\cdot\underbrace{\frac{12}{37}}_{\text{das letzte Dutzend im n-ten Spiel}}$$Das können wir noch zusammenfassen:$$p=\binom{n-1}{x-1}\cdot\left(\frac{12}{37}\right)^x\cdot\left(\frac{25}{37}\right)^{n-x}$$
