Bestimmen Sie Rand, Inneres und Abschluss der folgenden Teilmengen:

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie Rand, Inneres und Abschluss der folgenden Teilmengen:
a) (a, b] ⊂ R bezuglich der Standardmetrik von ¨ R.
b) Q ⊂ R bezuglich der Standardmetrik von ¨ R.

Problem/Ansatz:

Die standardmetrik ist ja //x// 2

Answer 1

Zu a)

Das Innere ist \((a,b)\), der Rand ist \(\{a,b\}\) und der Abschlusse \([a,b]\)

so, wie es jeder erwartet. Du musst es aber begründen können.

Zu b)

In jeder Umgebung einer rationalen Zahl \(q\)  liegt eine nichtrationale Zahl,

z.B. \(q+\sqrt{2}/n\) mit einem hinreichend großen \(n\),

d.h. es gibt keine offene Umgebung \(U_{\epsilon}(q)\subseteq \mathbb{Q}\).

Foglich hat \(\mathbb{Q}\) keine inneren Punkte:

das Innere von \(\mathbb{Q}\) ist die leere Menge.

Alle Punkte von \(\mathbb{R}\) sind Berührungspunkte von \(\mathbb{Q}\),

da jede Umgebung einer reellen Zahl eine rationale Zehl enthält;

also ist \(\mathbb{R}\) der Abschluss von \(\mathbb{Q}\) und da das

Innere leer ist, zugleich der Rand.

Comments

Also bei a würde ich dann begründen für rand das es die differenz von abschluss und innerem ist

der abschluss ist ja der durschnitt aller abgeshlossenen teilmengen

und das innere heist alle inneren punkte die es geben kann.

bei b wäre das innere Q der rand { Q}

und der abschluss (R) oder nicht zumindest alle zahlen davon

---

Bzgl. b)  ergänze ich meine Antwort ....