Antwort mit KI erzeugt
Erläuterung der Aufgabe:
Diese Aufgabe bezieht sich auf die Binomialverteilung, die verwendet wird, um die Anzahl der Erfolge in einer festgelegten Anzahl von unabhängigen und identischen Versuchen zu berechnen, wobei jeder Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse hat: Erfolg oder Misserfolg.
In der Aufgabe haben wir:
- \( n = 15 \): die Anzahl der Versuche
- \( p = 0,5 \): die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Versuchs
Was ist P als Höchstwert?
Der Satz "P als Höchstwert" deutet wahrscheinlich darauf hin, dass Sie das \( k \) bestimmen sollen, bei dem die Binomialwahrscheinlichkeitsfunktion \( P(X = k) \) den maximalen Wert erreicht. Das bedeutet, dass wir das \( k \) suchen, bei dem die Wahrscheinlichkeit, genau \( k \) Erfolge in 15 Versuchen zu erzielen, am höchsten ist.
Berechnungsschritte:
1.
Binomialverteilung:
Die Wahrscheinlichkeit, genau \( k \) Erfolge in \( n \) Versuchen zu erzielen, ist gegeben durch die Formel:
\(
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\)
wobei \(\binom{n}{k}\) der Binomialkoeffizient ist, der berechnet wird als:
\(
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
\)
2.
Maximum finden:
Da \( p = 0,5 \) und \( n = 15 \), ist die Binomialverteilung symmetrisch um den Mittelwert \(\mu = n \cdot p = 15 \cdot 0,5 = 7,5\).
In einem symmetrischen Fall mit \((0,5)\), ist es am Wahrscheinlichsten, dass die Treffersumme um den Mittelwert liegt, und bei einem ungeraden \( n \), ist das Maximum in Allgemeinen bei \(\lfloor n/2 \rfloor \) oder \(\lceil n/2 \rceil \) (da beide Werte sehr nahe beim Mittelwert liegen).
3.
Präzise Berechnung:
Testen Sie die Höchstwahrscheinlichkeiten für \( k = 7 \) und \( k = 8 \):
- Für \( k = 7 \):
\(
P(X = 7) = \binom{15}{7} (0,5)^7 (0,5)^{8} = \binom{15}{7} (0,5)^{15}
\)
- Für \( k = 8 \):
\(
P(X = 8) = \binom{15}{8} (0,5)^8 (0,5)^{7} = \binom{15}{8} (0,5)^{15}
\)
Die Wahrscheinlichkeiten für \( k = 7 \) und \( k = 8 \) sind gleich, wenn man die Binomialkoeffizienten betrachtet:
\(
\binom{15}{7} = \frac{15!}{7! \cdot 8!}
\)
\(
\binom{15}{8} = \frac{15!}{8! \cdot 7!} = \binom{15}{7}
\)
Daher sind die Wahrscheinlichkeiten identisch.
Schlussfolgerung:
Für \( n = 15 \) und \( p = 0,5 \) gibt es zwei k-Werte (\( k = 7 \) und \( k = 8 \)), für die die Wahrscheinlichkeit \( P(X = k) \) maximal ist. Das liegt an der Symmetrie der Binomialverteilung für \( p = 0,5 \). Daher ist \( K = 7 \) und \( K = 8 \) die Antwort, da beide die höchste Wahrscheinlichkeit haben.
