Zeige, dass die Verknüpfung von f und g wieder monoton ist

Question

Aufgabe:

Hi, ich soll zeigen, dass die Verknüpfung von f und g, die beide monoton sind, auch wieder monoton ist. Dafür soll ich 4 fälle unterscheiden, also beide monoton wachsen, fallen oder jeweils eine fallend und eine wachsend!

Problem/Ansatz

Ich würd dafür 3 geordnete mengen betrachten und eben f:A in B und g:B in C, aber nun mehr weiß ich nicht ich denke ich scheiter an der Anwendung der Definition der Monotonie

Answer 1

Hallo,

halbgeordnete Mengen scheinen auszureichen, zumindest bei der Wikipedia-Definition.

Dort heißt eine Abbildung \(f\) zwischen den halbgeordneten Mengen \((A,\leq)\) und \((B,\preceq)\), also \(f: A\to B\), monoton, wenn für alle \(x,y\in A\) gilt, dass aus \(x\leq y\) sodann auch \(f(a)\preceq f(b)\) folgt.

Wenn du nun noch \((C,\overset{\sim }\leq)\) und \(g: B\to C\) betrachtest, so gilt für \(g\circ f : A\to C\) mit \(x,y\in A\), dass $$x\leq y \overset{f \text{ monoton}}\Longrightarrow f(x)\preceq f(y) \overset{g \text{ monoton}}\Longrightarrow g(f(x))\overset{\sim}\leq g(f(y)).$$ und damit per Kettenschluss \(x\leq y \Longrightarrow g(f(x))\overset{\sim}\leq g(f(y))\), was zu zeigen war.

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Danke das hat mir sehr geholfen, ich habe jz alle 4 fälle erledigt und hoffe es passt so:)

Answer 2

Beide wachsend, dann wäre es so:

(1)  f:A→B monoton wachsend und (2)  g:B→C monoton wachsend

==>  ∀x,y ∈  A  x≤y ==>  f(x) ≤ f(y)  
           und ∀u,v ∈  B u≤v ==>  g(u) ≤ g(v) .

Seien nun x,y ∈  A   x≤y dann ist zu zeigen (gof)(x) ≤ (gof)(y) .

Etwa so: Wegen (1) gilt  f(x) ≤ f(y)

Damit sind f(x) und  f(y)  Elemente aus B für die gilt f(x) ≤ f(y)

Wegen 2 folgt  g(  f(x) ) ≤   g (f(y))

also   (gof)(x) ≤ (gof)(y) .         Also   gof mon.wachsend.

Comments

Danke auch dieser Kommentar war sehr hilfreich und hat mir weiter geholfen:)