Grenzwert einer Folge mit Logarithmus

Question

folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) }  }  $$

Das habe ich vereinfacht zu:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 4\cdot \ln(n)+\ln(23-...) }{ 5\cdot \ln(n)+\ln(2+...) }  }$$

Nun weiß ich nicht weiter...

Comments

Hast du denn unter dem Bruchstrich zu Beginn einen ln?

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Im Anfangsterm ist mir ein Fehler unterlaufen. Der Ausdruck im Nenner muss auch gesamt in ln() gesetzt werden. Sorry!

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Versuch mal, ob du das noch editieren kannst. Unknown hat editiert ;)

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Editieren scheint nicht zu gehen. Hier nun nochmal der Term, wie er eigentlich hätte aussehen sollen:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ a_{ n } } \frac { ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ ln(2n^{ 5 }+18n-1) }$$

Answer 1

Teile oben und unten durch ln (n)

= lim (4 + ((ln(23-7/n^2 …)/(ln(n)) /(5 + ((ln(2+...)/ln(n)) 

= (4+0)/(5+0) = 4/5 = 0.8

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--- Sry bin von einer anderen Aufgabenstellung ausgegangen. So passt das natürlich ---

Answer 2

Hi,

a)

Man betrachte im Numerus nur die höchste Potenz:

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(23n^{ 4 }-7n^{ 2 }-7n+144) }{ \ln(2n^5+18n-1) }  }$$

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \ln(n^{ 4 }) }{ \ln(n^5) }  }  = \lim \frac{4\ln(n)}{5\ln(n)} = \frac45$$

Das ist legitim, da bei so großen n der Rest nur noch Kleinvieh ist^^.

 

b) Hier folgt die gleiche Argumentation. Der zweite Summand kann dabei getrost vernachlässigt werden (unter der Bedingung, dass das Gepunkte von n unabhängig ist). Da nun der Faktor mit ln(n) der jeweils gleiche ist, kann dies gekürzt werden und wir haben als Grenzwert letztlich 4/5.

Hier bin ich von einer anderen Aufgabenstellung ausgegangen.

 

Grüße

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Huch, habe übersehen, dass das zweite ja nur eine Umformung des ersteren ist.

Und dass das nur Polynome sind. Verbesserung siehe in meiner Antwort.