Zeigen sie, dass sie Abbildung bijektiv ist, Nebenklasse

Question

Aufgabe:

Sei G eine endliche abelsche Gruppe mit n Elementen und sei H eine Untergruppe von G mit k

Elementen. Für x∈G schreiben wir [x] für die Nebenklasse bezüglich H.

a) Für x,y∈ G, finden sie eine bijektive Abbildung zwischen [x] und [y]. Zeigen sie, dass sie Abbildung bijektiv ist

b) Zeigen sie, dass für jedes X∈G die Nebenklasse [x] genau k Elemente besitzt.

c) Zeigen sie, dass G/H genau n/k Elemente besitzt

Leider konnte mir bis jetzt noch keiner helfen. Ich bin für sämtliche Tipps dankbar

Answer 1

Es ist ja [x] = { z∈G | ∃h∈H z=x+h}.

a) Die Abbildung ist f : [x] → [y]  f(z) = y+(z-x) .

Ist injektiv, denn wenn z1,z2 ∈ [x] mit f(z1)=f(z2)

              ==>    y+(z1-x) = y +(z2-x)   also z1=z2.

surjektiv: Sei z∈[y].  Also gibt es ein h∈H mit z=y+h.

Dann ist x+h ∈[x] und es gilt f(x+h) = y + ((x+h)-x)=y+h=z.

Comments

Danke für sie schnelle Antwort, jetzt bin ich immerhin schon etwas weiter