Zeigen Sie, dass die Abbildung e^{it} das Intervall [0,2π) bijektiv auf die Einheitskreislinie (z∈ℂ : |z|=1) abbildet.

Question

Aufgabe:

Zeigen sie,dass die Abbildung t-> e^it das Intervall [0,2π) bijektiv auf die einheitskreislinie (z∈ℂ : |z|=1) abbildet.

Ist die Abbildung ein Homöomorphismus ?

Answer 1

f: t-> e^it das Intervall [0,2π) bijektiv auf die Einheitskreislinie (z∈ℂ : |z|=1) abbildet.

1. Beh.: Für alle t ist |f(t)|=1 . Wegen e^(it)=cos(t)+i*sin(t) ist

|f(t)|^2 = (cos(t)+i*sin(t))(cos(t)-i*sin(t))=cos(t) ^2 + sin(t)^2 = 1

und weil der Betrag nicht negativ ist, also gleich 1.

injektiv ?   e^(iu) = e^(iv)  

       ==>        cos(u)+i*sin(u) =  cos(v)+i*sin(v)

        ==>   cos(u)- cos(v)   =   i*sin(v) - i*sin(u)

      ==>    cos(u)- cos(v)  =  i* (sin(v) - sin(u))

links steht was reelles und rechts nur, falls sin(v) - sin(u)=0 , also gilt

         cos(u)- cos(v)  = 0    und  sin(v) - sin(u)=0

==>     cos(u)=cos(v)      und sin(v) = sin(u)

Und weil u und v beide aus  dem Intervall [0,2π) sind,

stimmen sie überein.

surjektiv. Sei z=a+bi ∈ℂ und |z|=1 ==> a^2 + b^2 = 1.

Für a=0 ist dann |b|=1 also

                   z=i = 0 + i*sin(pi/2) = e^(i*0,5pi)

          oder z=-i = 0 - i*sin(3pi/2) = e^(i*1,5pi)

und 0,5pi und 1,5pi sind aus [0,2π).

Für a≠0 gibt es aus jedem Einheitskreisviertel

über arcsin und arccos von den Beträgen von a bzw. b

das geeignete t für z=e^(-it).

Comments

Oh Dankeschön, und wie kann ich zeigen dass die Abbildung ein homöomorphismus ist. Die Abbildung muss ja bijektiv und stetig sein damit diese erfüllt ist ?

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Schau mal in Deinem Skript nach, ob Du genau die Definition wiedergegeben hast.

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f bijektiv und f,f^-1 stetig steht im Skript

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und wie kann ich zeigen dass die Abbildung ein homöomorphismus ist.

Tipp: Gar nicht.

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Bijektiv ist erfüllt aber nicht die Stetigkeit oder ?

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Zeigen sie,dass die Abbildung t-> e^(it) das Intervall [0,2π) bijektiv auf die einheitskreislinie (z∈ℂ : |z|=1) abbildet.

Diese Vermutung liegt nahe, ja.

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Ist es nicht so ?

Homöomorphismus ist es doch, wenn f bijektiv und f,f^-1 stetig.

bijektiv ist ja klar und stetig ist doch die e-Funktion auch

und wegen der Einschränkung auf das Intervall ist

die Umkehrung auch stetig

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Betrachte die Folgen cos(1/n)+i*sin(1/n)  und cos(2π-1/n)+i*sin(2π-1/n) die beide gegen 1+0i konvergieren.

Wertet man die Umkehfunktion darauf aus sieht man dass sie einmal gegen 0 und einmal gegen 2π geht. Insbesondere ist sie nicht in 1+0i stetig.

Answer 2

Hallo,

die Umkehrabbildung ist nicht stetig. Mit \(f(t):=\exp(it), t \in [0,2 \pi)\) gilt \(f(0)=1\) und \(f(2 \pi-1/n) \to 1\) aber offenbar nicht: \(2 \pi-1/n \to 0\).

Gruß Mathhilf