Zeigen, dass die Abbildung f(z) = (z-i) / (z+i) bijektiv abbildet und geben Sie die Umkehrfunktion an

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung \( f: \mathbb{C} \backslash\{-i\} \rightarrow \mathbb{C} \), definiert durch

\( f: z \mapsto \frac{z-i}{z+i} \)

den oberen komplexen Halbraum \( \{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z>0\} \) bijektiv auf das Innere des Einheitskreises \( \{z \in \mathbb{C}:|z|<1\} \) abbildet und geben Sie die Umkehrfunktion an.

Ansatz:

Weis leider nicht wie ich anfangen soll

Answer 1

Injektiv ist f ja bestimmt; denn sind x,y ∈ℂ mit

\(    \frac{x-i}{x+i} =    \frac{y-i}{y+i}  \)

==>   (x-i)(y+i) = (y-i)(x+i)

==>  xy-iy+ix+1 = xy+iy-ix+1

==>  2ix= 2iy  | :(2i)

==>  x = y.