Zeigen, dass die Abbildung f(z) = (z-i) / (z+i) bijektiv abbildet und geben Sie die Umkehrfunktion an

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Abbildung $f: \mathbb{C} \backslash\{-i\} \rightarrow \mathbb{C}$, definiert durch

$f: z \mapsto \frac{z-i}{z+i}$

den oberen komplexen Halbraum $\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z>0\}$ bijektiv auf das Innere des Einheitskreises $\{z \in \mathbb{C}:|z|<1\}$ abbildet und geben Sie die Umkehrfunktion an.

Ansatz:

Weis leider nicht wie ich anfangen soll

Answer 1

Injektiv ist f ja bestimmt; denn sind x,y ∈ℂ mit

$\frac{x-i}{x+i} = \frac{y-i}{y+i}$

==>   (x-i)(y+i) = (y-i)(x+i)

==>  xy-iy+ix+1 = xy+iy-ix+1

==>  2ix= 2iy  | :(2i)

==>  x = y.