Zeigen Sie: In einem Körper hat die Gleichung x2 = 1 höchstens zwei Lösungen

Question

Zeigen Sie:
(1) In einem Körper hat die Gleichung x² = 1 höchstens zwei Lösungen.
(2) Wenn p, q verschiedene ungerade Primzahlen sind, dann hat die Gleichung
x² = 1 in ℤ/pqℤ genau 4 Lösungen.

Answer 1

(1)      x^2 = 1

 <=>   x^2 - 1 = 0

<=>   (x-1)(x+1) = 0

Da ein Körper nullteilerfrei ist, folgt

x-1=0   oder  x+1=0

<=>   x=1 oder x=-1 .           q.e.d.

Bei Z2 ist das sogar nur eine Lösung.

Answer 2

Sind \(p,q\) verschiedene ungerade Primzahlen, so besteht

ein Ringisomorphismus \(\phi:\;\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/q \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}\).

Das ist eine Art, einen Teil des chinesischen Restsatzes auszusprechen.

\(\phi((1,1)),\; \phi((-1,1)), \; \phi((1,-1))\) und \(\phi((-1,-1))\) sind dann die

4 Lösungen der Gleichung \(x^2=1\).