Sei ℝ die Menge der Funktionen f : [0, 1] → ℝ, Ist ℝ ein Körper?

Question

Sei ℝ die Menge der Funktionen f : [0, 1] → ℝ Auf dieser Menge
werden Addition und Multiplikation definiert durch (f + g)(x) = f(x) + g(x),
(f · g)(x) = f(x) · g(x). Ist ℝ ein Körper?

Comments

Sei ℝ die Menge der Funktionen f : [0, 1] → ℝ

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Answer 1

Die 1 in diesem Verknüpfungsgebilde ist ja die

konstante Funktion vom Wert 1.

Betrachte z.B. die Funktion mit f(x)=1-2x.

Es gibt aber keine Funktion auf [0,1] mit f(x)*g(x) = 1,

denn f hat bei 0,5 eine Nullstelle, also

ist immer f(0,5)*g(0,5) = 0.

Answer 2

Die Menge der Funktionen besitzt Nullteiler, z.B.

\(f=\chi_{[0,1/3]}\) und \(g=\chi_{[2/3,1]}\). Es gilt \(f\cdot g=0\),

aber \(f\neq 0\) und \(g\neq 0\).

Hier bedeutet \(\chi_A\) für eine Teilmenge \(A\subseteq [0,1]\) die

charakteristische Funktion von \(A\), also \(x\mapsto 0,\) wenn \(x\notin A\),

\(x \mapsto 1,\) wenn \(x\in A\).

Da ein Körper keine (echten) Nullteiler besitzt, ist diese Menge kein Körper.