R sei Menge der Funktionen f: [0, 1] → R. Ist R ein Körper?

Question

Aufgabe:

Sei R die Menge der Funktionen f : [0, 1] → R. Auf dieser Menge
werden Addition und Multiplikation definiert durch (f + g)(x) = f(x) + g(x),
(f · g)(x) = f(x) · g(x). Ist R ein Körper?

Problem/Ansatz:

Muss ich jetzt zeigen, dass alle Körperaxiome erfüllt sind?

i) abelsche gruppe bzgl. Addition

ii) abelsche Gruppe bzgl. Multiplikation

iii) Distributivgesetze

Ich weiß nicht wie ich beginnen soll die Aufgabe zu lösen.

Comments

Ja genau, du prüfst die Axiome nacheinander durch. Und irgendwann wirst du feststellen, dass es kein Körper ist.

- Assoziativität + : Du addierst punktweise, vererbt sich also von der Addition auf den reellen Zahlen

- Abelsch: Vererbt sich auch von den reellen Zahlen

- Neutrales Element: Nullfunktion \( x \mapsto 0 \)

- Inverse zu f ist \( -f : [0,1] \to \mathbb R, x \mapsto -f(x) \)

=> Mit Addition abelsche Gruppe

- Assoziativität *: von IR

- Abelsch: von IR

- Neutrales Element: Einsfunktion \( x \mapsto 1 \)

- Inverses Element zu f: ??? Suche ein Gegenbeispiel

Distributivgesetze sind erfüllt, vererbt sich alles von IR.

Also haben wir im Prinzip fast einen Körper, aber nur ohne multiplikativ Inverse Elemente. Es ist also nur ein unitärer kommutativer Ring.

Man kann natürlich auch direkt ahnen, dass es an den Inversen scheitert, dann schreibt man einfach dafür ein Gegenbeispiel hin und ist fertig.. Aber für solche educated-gusses braucht man etwas Übung. Wenn du es nicht direkt siehst einfach step by step durchgehen.

Answer 1

Muss ich jetzt zeigen, dass alle Körperaxiome erfüllt sind?

Entweder das oder du zeigst dass mindestens eines der Köreraxiome nicht erfüllt ist.

Letzteres halte ich für aussichtsreicher. Grund dafür ist, dass R kein Körper ist.