Wie beweise ich, dass diese Menge ein Körper ist? W={z| z = a + b√7, a und b rational}

Question

Aufgabe:

Gruppe und Körper: Gegeben ist die Menge der Zahlen \( W_{7}=\{z | z=a+b \sqrt{7}, a \in \mathbb{Q}, b \in \mathbb{Q}\} . \) Es gelten die üblichen Rechenregeln für Addition und Multiplikation. Zeigen Sie, dass die Menge \( W_{7} \) einen Körper bildet und geben sie explizit die Formel für das Produkt bzw. den Quotient von zwei Zahlen, z.B. \( z_{1}=a_{1}+b_{1} \sqrt{7} \) und \( z_{2}=a_{2}+b_{2} \sqrt{7}, \) an.

Ansatz: Ich verstehe die einzelnen Rechenoperation bzw. formal, was vorhanden sein muss, damit ich diese Menge als Körper charakterisieren kann (Ich meine damit, die Definitionen aus dem Buch.) Aber ich verstehe nicht ganz, wie ich das niederschreiben muss bzw. wie ich damit rechnen soll. Hilft mir jemand mit einer Lösung, damit ich es mir anschauen und nachvollziehen kann?

Answer 1

Nun, du musst zeigen, dass W₇ die Körperaxiome erfüllt, dass also gilt:

A) W₇ ist bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe

B) W₇ ist bzgl. der Multiplikation eine abelsche Gruppe

C) In W₇ gelten die Distributivgesetze:

zu A)

1) Für alle Elemente x = a + b √ 7, y = c + d √ 7, z = e + f √ 7 ∈ W₇ gilt das Assoziativgesetz, also:

( x + y ) + z = x + ( y + z)

Beweis:

( x + y ) + z

= ( a + b √ 7 + c + d √ 7 ) + e + f √ 7

Da die üblichen Rechenregeln für die Addition gelten sollen, darf die Summation in beliebiger Reihenfolge druchgeführt werden, insbesondere auch in dieser:

= a + b √ 7 + ( c + d √ 7 + e + f √ 7 )

= x + ( y + z )

2) Für alle Elemente x = a + b √ 7, y = c + d √ 7, z = e + f √ 7 ∈ W₇ gilt das Kommutativgesetz, also:

x + y = y + x

Beweis:

x + y 

= a + b √ 7 + c + d √ 7

Da die üblichen Rechenregeln für die Addition gelten sollen, darf die Summation in beliebiger Reihenfolge druchgeführt werden, insbesondere auch in dieser:

= c + d √ 7 + a + b √ 7

= y + x

3) Existenz eines neutralen Elementes  0 = p + q √ 7 ∈ W₇ sodass für alle x = a + √ 7 ∈ W₇ gilt:

0 + x = x

Beweis:

0 + x = x

<=> p + q √ 7 + a + b √ 7 = a + b √ 7

<=> p + q √ 7 = 0

<=> p = - q √ 7

Da √ 7 eine irrationale Zahl ist, q und insbesondere p aber rationale Zahlen sein sollen, hat diese Gleichung nur die Lösung

p = q = 0 

Somit ist 0 = 0 + 0 √ 7 ein neutrales Element von W₇ (und zwar das einzige).

4) Existenz eines inversen Elementes x^-1 = p + q √ 7 ∈ W₇ sodass für alle x = a + b √ 7 ∈ W₇ gilt:

x + x ^-1 = 0 = 0 + 0 √ 7

Beweis:

x + x ^-1 = 0

<=> a + b √ 7 + p + q √ 7 = 0 + 0 √ 7

<=> a + p + ( b + q ) √ 7 = 0 + 0 √ 7

Da √ 7 eine irrationale Zahl ist, ( b + q ) und insbesondere ( a + p ) aber rationale Zahlen sein sollen, hat diese Gleichung nur die Lösung

<=> a + p = 0 ∧ b + q = 0

<=> p = - a ∧ q = - b

Somit ist x ^{- 1} = - a - b √ 7 das inverse Element zu x = a + b √ 7

Damit ist gezeigt, dass W ₇ bezüglich der üblichen Addition eine abelsche Gruppe ist.

 

Dasselbe muss nun bezüglich der üblichen Multiplikation gezeigt werden. Das geht ganz ähnlich und ich überlasse es jetzt mal dir zur Übung.

 

Schließlich muss noch gezeigt werden, dass die Distributivgesetze

a * ( b + c ) = a * b + a * c

und

( b + c ) * a = b * a + c  * a

gelten. auch das schaffst du sicher selber ...