Partielle Ableitungen zunächst allgemein und dann an gegebenen Punkten

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion:

z = 5xe^xy+ln\( \sqrt{x²+y²} \)+cos(π*x+y)

Berechnen Sie die folgenden partiellen Ableitungen zunächst allgemein und dann an den
gegebenen speziellen Punkten.

a) ∂z/∂x (1;0) und ∂z/∂y (0;1)

b) ∂³*z/∂x ∂y ∂z (-1;0)

Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht wie ich die a und b Aufgabe mit der Gleichung in Verbindung bringen soll

Answer 1

\( z = 5xe^{xy}+ln(\sqrt{x²+y²}) +cos(π \cdot x+y)  \)

kannst du auch schreiben als

\( f(x,y)  = 5xe^{xy}+ln(\sqrt{x²+y²}) +cos(π cdot x+y)  \)

Und dann sollst du ja die partiellen Ableitungen zunächst allgemein bestimmen.

Also f partiell abgeleitet nach x (schreiben manche auch f_x(x,y) ) oder auch

∂f/∂x (x,y)   oder hier eben  ∂z/∂x (x,y)  =

\(  (5xy+5) \cdot e^{xy}  + \frac{x}{x^2 + y^2}  - π \cdot  cos(π \cdot x+y)  \)

Und für ∂f/∂x (1,0) musst du halt die Zahlen einsetzen:

∂z/∂x (1,0)  =\(  5 \cdot e^{0}  + \frac{1}{1}  - π \cdot cos(π \cdot 1+0)  \)

=\(  5  + 1  - π \cdot cos(π )  = 6 -  π \cdot (-1)  =  6 +  π \)

Answer 2

∂z/∂x (1;0) : Leite 5xe^xy+ln\( \sqrt{x²+y²} \) ab. Dabei ist y eine Konstante, so wie du es auch von Funktionenscharen oder Steckbriefaufgaben aus der Schule kennst (nur dass die Konstante hal y heißt, un nich a, b oder c).

∂z/∂y (0;1) : Genau so, nur das dieses mal x die Konstante ist.