OK, jetzt stimmt die Ableitung.
EIn paar Informationen zu Grenzwerten:
Für eine Funktion \(g:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\) sind die Grenzwerte \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0} g(x,y)\) und \(\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0} g(x,y)\) (sofern sie existieren) im Allgemeinen nicht gleich.
Der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)\) wird z.B. so definiert:
Für ein \(a\in\mathbb{R}\) gilt \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)=a\) genau dann, wenn für alle \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) existiert, sodass für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) mit \(|(x,y)|<\delta\) gilt, dass \(|g(x,y)-a|<\varepsilon\).
(es gibt auch noch eine Definition über Folgengrenzwerte, kannst du ja mal googlen).
Wenn der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)\) existiert, dann existieren auch die Grenzwerte \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0} g(x,y)\) und \(\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0} g(x,y)\) und alle drei sind gleich. Andersrum kann man aber aus der Existenz eines der beiden letztgenannten Grenzwerte nicht auf die Existenz der beiden anderen Grenzwerte schließen.
So, jetzt zu deiner Aufgabe: Du willst zeigen, dass \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}=0\) ist. Dazu musst du also zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) finden, sodass \(\left|\frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}\right|<\varepsilon\) für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) mit \(|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta\).