Partielle Ableitungen an der Stelle (0,0)

Question

Ich bin verunsichert. Sei eine Funktion f:=R² -> R für (0,0) nicht definiert.

Nun möchte ich die partielle Ableitung nach x an der Stelle (0,0) berechnen, also den Grenzwert finden.

Meine Frage, Bei der Ableitung nach x nur lim(x->0) prüfen, oder lim(x->0)lim(y->0)?

Comments

Gib einmal das Beispiel.

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Wenn die Funktion an der Stelle \((0,0)\) nicht definiert ist, kannst du dort auch nicht die partielle Ableitung berechnen.

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Sei f(x,y)=x²y²/(x²+y²)   mit x,y ∈ R\{(0,0)}
df/dx ist =3x³+y²-x⁴y² / x⁴+2x²y²+y4
Jetzt ist df/dx immernoch nicht für (0,0) definiert, aber ich kann mich doch annähern oder?dann wäre doch
lim(x->0)dx= 1/y²
Frage ist also ob das überhaupt geht, und ob dann noch lim(y->0) drüberziehen muss, oder sogar zuerst.

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Die Ableitung stimmt nicht.

Und im Allgemeinen sind Grenzwertbildungen nicht vertauschbar. Aber korrigiere erstmal die Ableitung, dann sehen wir weiter.

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Tatsache.df/dx ist =2xy⁴ / x⁴+2x²y²+y⁴lim(x->0) df/dx = 0
Frage bleibt. :)

Answer 1

OK, jetzt stimmt die Ableitung.

EIn paar Informationen zu Grenzwerten:
Für eine Funktion \(g:\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\to\mathbb{R}\) sind die Grenzwerte \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0} g(x,y)\) und \(\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0} g(x,y)\) (sofern sie existieren) im Allgemeinen nicht gleich.

Der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)\) wird z.B. so definiert:
Für ein \(a\in\mathbb{R}\) gilt \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)=a\) genau dann, wenn für alle \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) existiert, sodass für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) mit \(|(x,y)|<\delta\) gilt, dass \(|g(x,y)-a|<\varepsilon\).
(es gibt auch noch eine Definition über Folgengrenzwerte, kannst du ja mal googlen).

Wenn der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}g(x,y)\) existiert, dann existieren auch die Grenzwerte \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0} g(x,y)\) und \(\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0} g(x,y)\) und alle drei sind gleich. Andersrum kann man aber aus der Existenz eines der beiden letztgenannten Grenzwerte nicht auf die Existenz der beiden anderen Grenzwerte schließen.

So, jetzt zu deiner Aufgabe: Du willst zeigen, dass \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)} \frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}=0\) ist. Dazu musst du also zu jedem \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) finden, sodass \(\left|\frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}\right|<\varepsilon\) für alle \((x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\) mit \(|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta\).

Comments

Treffender gehts nicht. Vielen Dank für die Mühe!

ExistenzVorausgesetzt spielt es also keine Rolle womit ich anfange? Denke ich.

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Ja, das ist dann egal.
Und wie willst du die Existenz zeigen?

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Ich schreibe das mal als Antwort..

Answer 2

Ich erinnere mich das wir das glaube ich wie folgt mal gemacht haben

f(x, y) = x^2·y^2/(x^2 + y^2)

df/dx = 2·x·y^4/(x^2 + y^2)^2

lim (x, y --> 0) 2·x·y^4/(x^2 + y^2)^2

Subst.

x = r·COS(α)

y = r·SIN(α)

lim (r --> 0) 2·(r·COS(α))·(r·SIN(α))^4/((r·COS(α))^2 + (r·SIN(α))^2)^2

lim (r --> 0) 2·r·SIN(α)^4·COS(α) = 0

Comments

Da das für jedes \(\alpha\) gilt, müsste das so passen.

Ich habe es so gemacht:
Sei \(|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta:=\frac{\varepsilon}{2}\).
Dann \(\left|\frac{2xy^4}{(x^2+y^2)^2}\right|=\frac{2|x| (y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}\leq \frac{2|x|\cdot (x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^2}=2|x|=2\sqrt{x^2}\leq 2\sqrt{x^2+y^2}<2\delta=\varepsilon\).

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epsilon delta ist logisch.

die sinus cosinus Geschichte verwundert mich, ist das allgemeingültig oder hab ich hier nen Spezialfall rausgepickt?

und nochmal eine Frage zur Reihenfolge. 2. partielle Ableitung, d²f/dxdy .

Spielt es eine Rolle ob ich zuerst lim(x->0) oder lim(y->0) betrachte? Kann ich auch direkt schauen was für lim(x,y)->(0,0) passiert, also für x und y für kleine Werte in der gleichen Grenzwertbetrachtung? 

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Das mit SIN-COS ist schon allgemein gültig um einen Grenzwert an einem bestimmten Punkt zu bekommen.

Damit bildet man um den Punkt, den man betrachten will einen Kreis mit einem Radius der gegen 0 geht.

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Wie schon gesagt, wenn der Grenzwert \(\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)\) existiert, dann sind alle drei Grenzwerte gleich. Du weißt ja aber noch gar nicht, ob der Grenzwert existiert.

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Man könnte auch bei

lim (x, y --> 0) 2·x·y^4/(x^2 + y^2)^2

Subst
x = 1/a
y = 1/b

lim (a,b --> ± ∞) 2·(1/a)·(1/b)^4/((1/a)^2 + (1/b)^2)^2

lim (a,b --> ± ∞) 2·a^3/(a^2 + b^2)^2

lim (a,b --> ± ∞) 2·a^3/(a^4 + 2·a^2·b^2 + b^4)

lim (a,b --> ± ∞) 2/(a + 2·b^2/a + b^4/a^3)

Hier sollte das eventuell einfacher ersichtlich sein, dass das ganze gegen 0 geht, wenn a und b gegen unendlich gehen.