Injektivität, Surjektivität von Abbildungen beweisen

Question

Aufgabe:

Sind die Abbildungen f und g aus Aufgabe 3 injektiv? Sind sie surjektiv?

(Beweisen Sie Ihre Behauptungen)

f : R ×R →R, f (x, y) = xy −y2
g : R →R ×R, g(x) = (3x, 7)

Problem/Ansatz: Also ich habe paar Fragen und möchte BITTE paar Hilfestellungen.

1. Oben steht nur injektiv und surjektiv aber theorethisch können sie auch bijektiv sein oder?

2. Ich habe das Konzept eines beispielsweißen Beweises der Injektivität nachgeschaut und grob verstanden. Es muss ja am Ende x1=x2 rauskommen. Ich kann die Aufgabe aber aufgrund des Zahlenpaares was mich so verwirrt nicht rechnen!!!!!

3. Ich habe mir den Beweis der Surjektivität angeschaut und nicht ganz verstanden und weiß nicht wie ichs genau anwenden soll. Ich brauche hier konkrete Hilfe. Vlt bin ich einfach zu dumm oder so

4. Ich werde warscheinlich auch die funktion g nicht rechnen können, weil das Zahlenpaar mich verwirrt.

5. Trotzdem konkrete Hilfestellung wäre nett, damit ich das Konzept eines Beweises hier richtig verstehe und richtig anwenden kann. Ich bin mir alles andere als sicher

Danke schonmal

Comments

Bei f siehst du direkt, dass die Funktion nicht injektiv sein kann (f(1, 0)=f(0, 0)). Um zu beweisen, dass sie surjektiv ist, nimmst du ein allgemeines Element z aus R und zeigst, dass du für dieses z ein x und ein y finden kannst, sodass xy-y2 = z.

Bei g siehst du direkt, dass die Funktion nicht subjektiv sein kann, da lediglich Paare der form (..., 7) im Bild sind, und somit beispielsweise (0, 0) nicht im Bild der Funktion ist. Für Injektivität musst du lediglich zeigen das (3x_1, 7)=(3x_2, 7) => 3x_1 = 3x_2 => x_1 = x_2.

Answer 1

f : R ×R →R, f (x, y) = xy −y^2
g : R →R ×R, g(x) = (3x, 7)

f injektiv  s. Kommentar

f surjektiv ?  Sei z∈ℝ. Dann suchst du ein Zahlenpaar (x,y)

mit f(x,y)=z  also  xy-y^2 = z   bzw y*(x-y) = z

Nimm einfach x=z+1 und y=1

dann hast du f(z+1,1 ) = (z+1)*1 -1^2 = z+1 - 1 = z

Also ist f surjektiv.

g: injektiv, so wie du es beschrieben hast. Seien x1,x2 ∈ℝ

mit  g(x1) = g(x2)

==>  (3x1,7) = (3x2,7)

Gleichheit von Zahlenpaaren liefert:

     3x1 = 3x2   und 7=7

        x1 = x2   und 7=7 .

Also g injektiv.

surjektiv sicher nicht, da Zahlenpaare mit anderer

2. Komponente als 7 nicht erreicht werden, es gibt z.B.

kein x mit g(x) = (2,5).

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Wie kann man nur so gut sein in Mathe wie du? Bist du Professor Dr. der Mathematik und machst das hier als hobby oder auffrischung? Man muss sich einfach nur bedanken bei dir.