lokaler Diffeomorphismus und Norm

Question

ich habe eine Aufgabe zur lokalen Diffeomorphismus wieder zu lösen, die etwas (zumindest finde ich es so) komplizierter ist.

Sei Φ : ℝ² → ℝ² eine C1 Abbildung, so dass ∥Φ(x) − Φ(y)∥ ≥ λ ∥x − y∥ (Norm)
für alle x, y ∈ R2 wobei λ > 1 eine konstante ist. Zeigen Sie, dass

a) Φ überall lokaler Diffeomorphismus ist
b) Φ(ℝ²) abgeschlossen und offen ist
c) die leere Menge und R² die einzigen Mengen sind die abgeschlossen und offen sind.
d) Nutzen sie a), b) und c) um zu zeigen, dass Φ ein Diffeomorphismus ist und genau einen Fixpunkt besitzt.

Zu a) ich muss doch hier zeigen, dass es Φ bijektiv , stetig difffbar und Umkehrabbildung auch stetig diffbar ist oder?

Aber ich weiß nicht so ganz genau wie das bei einer Norm rechnen soll. Ich könnte doch die Norm anders aufschreiben : √⟨Φ(x)-Φ(y)⟩. und dann die Wurtzel ableiten ?

Zu b ) Kann ich denn hier sagen , da ℝ selbst ja abgeschlossen und offen ist.

c) ähnlich wie bei b

Bei d habe ich leider überhaupt keine Idee, außer dass ich vielleicht mit der impliziten Funktion arbeiten muss ?

Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar !

Gruß

Answer 1

Hallo,

ich überblicke auch noch nicht alle Feinheiten der Aufgabe. Aber in a) wird doch von einem lokalen Diffeomorphismus gesprochen. Das weist doch auf den Satz über die lokale Umkehrfunktion hin. Dafür wäre zu überprüfen, ob (ich schreibe F statt Phi) \(F'(x)\) regulär ist. Das folgt aus der angegebenen Bedingung (mit c statt lambda):

Zunächst die Bedingung der Differenzierbarkeit:

$$F(x+h)=F(x)+F'(x)h+r(h) \text{   mit } \frac{\|r(h)\|}{\|h\|} \to 0 (h \to 0)$$

Daraus folgt dann:

$$\frac{1}{\|h\|}\|F'(x)h\| =\|F(x+h)-F(x)-r(h)\| \geq \frac{1}{\|h\|} \left(\|F(x+h)-F(x)\|-\|r(h)\| \right)$$

$$\geq c -\frac{\|r(h)\|}{\|h\|}  \to c$$

Damit wäre zunächst die lokale Umkehrbarkeit gezeigt. Außerdem folgt, dass die Norm der inversen Ableitung durch 1/c beschränkt ist. Dann hätte die Umkehrfunktion einen eindeutigen Fixpunkt....

Gruß Mathhilf

Comments

Danke !

Nur ich verstehe nicht ganz, wie ich dann Φ(x)-Φ(y) einsetzen soll anwenden soll auf diese Aufgabe?

Ich wäre dann jetzt so vorgegangen : Φ(x+h) Aber schon hier scheitere ich leider ich habe ja auch noch Φ(y) und müsste das dann vielleicht separat mit Φ(y+h) machen ?