Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Nun gut, nach der Klärung kannst du die letzte Zeile \(4x-3y\) einfach vergessen, weil mit ihr keine Bedingung verknüpft ist. Das heißt, wir haben nur 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Wir wenden den Gauß-Algorithmus mit dem Ziel an, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline2 & 6 & -3 & -6 &\\4 & 3 & 3 & 6 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline2 & 6 & -3 & -6 &\\0 & -9 & 9 & 18 &\colon9\\\hline2 & 6 & -3 & -6 &+3\cdot\text{Zeile 2}\\0 & -1 & 1 & 2 &\\\hline2 & 3 & 0 & 0 &\colon2\\0 & -1 & 1 & 2 &\\\hline1 & 3/2 & 0 & 0 &\\0 & -1 & 1 & 2 &\end{array}$$Daraus können wir zwei Bedingungen ablesen:$$x+\frac32y=0\quad;\quad -y+z=2\quad\text{bzw.}\quad x=-\frac32y\quad;\quad z=2+y$$Damit können wir alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac32y\\[0.5ex]y\\2+y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-\frac32\\[0.5ex]1\\1\end{pmatrix}$$Wie erwartet, ergibt die fehlende dritte Gleichung am Ende eine Variable, die wir völlig frei wählen dürfen. Es gibt unendlich viele Lösungen.
