Aufgabe:
Der Gewinn mit einem Produkt dessen Kostentunktion \( K \) gegeben ist durch
\( K(x)=x^{3} /100 - 3x^{2} / 2+117 x + 1,012 \)
soll maximiert werden. \( x \) bexeichne die Ananhl der produzierten Gegenstände. Der Preis sei gegeben durch \( p(x)=117-3x/10 \)
Beachten Sie, dass in Maple TA der Punkt als Dezimaltrennzeichen verwendet wird.
(a) Berechnen Sie zuerst die Nullstellen der Ableitung der Gewinnfunktion. Geben Sie die Nullten aufsteigend an.
Die erste Nullstelle lautet \( x_{1}=0 \).
Die zweite Nullstelle lautet \( x_{2}=80 \)
(b) Berechnen Sie anschließend den Wert der zweiten Ableitung an den Stellen \( x_{1} \) und \( x_{2} \)
Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle \( x_{1} \) lautet: \( f^{\prime}\left(x_{1}\right)=2.4 \)
Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle \( x_{2} \) lautet \( f^{\prime}\left(x_{2}\right)=-2.4 \)
(c) Berechnen Sie abschließend den maximal zu erzielenden Gewinn:
Die maximal zu erzielende Gewinn beträgt ___
Ansatz/Problem:
Die Aufgabe kann ich eigentlich soweit nachvollziehen und berechnen, jedoch schaffe Ich nicht den in der Aufgabe im letzten Schritt geforderten maximal zu erzielenden Gewinn zu berechnen. Zu meinem Rechenweg kann ich sagen, dass ich zuerst die Umsatzkosten für x Produkte berechnet habe also: U(p)= p(x) * x . Dann habe ich gesagt: Gewinn= Umsatz-Kosten.
Mathematisch gesehen ausgedrückt: G(x) = U(x) - K(x). Dann habe ich die Ableitung gebildet und die Nullstelle der ersten Ableitung berechnet. Die nun berechneten Nullstellen habe ich in die zweite Ableitung der Gewinnfunktion eingesetzt. Nun fehlt nur noch der maximal zu erzielende Gewinn. Die Lösung ist angeblich: 1,548. Aber ich komme nicht drauf.
