Hallo :-)
Die Symbole "+" (Additionszeichen) und "\(\cdot\)" (Multiplikationszeicnen) sind nur Hilfsbezeichnungen, um eine länger beschriebene Operation zu beschreiben. Du handtierst hier mit Mengen, die als Elemente einer Grundmenge (ich nenne sie mal) \(R\) vorkommen. Die ,,Addition zweier Mengen" \(A,B\) wird durch die Rechenoperation \((A\cup B)\setminus (A\cap B)=:A+B\) umgesetzt. Die ,,Multiplikation zweier Mengen" \(A,B\) bewerkstelligt man hier durch \(A\cap B=:A\cdot B\). Und damit sollst du nun arbeiten, um die Ring-Axiome nachzurechnen.
Ich mache mal das erste Axiom vor:
Zeige: Es gibt ein \(E_R\in R\), sodass für alle \(A\in R\) die Gleichheit \(A+E_R=A\) gilt. Entweder sieht man es anhand an der Definition der hier aufgeführten Addition zweier Mengen, oder man setzt jetzt einfach mal ein.
>>>>> Beginn der Schmierarbeit<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Ich setze mal ein und ermittle so, wie \(E_R\) aussehen muss:
\(A+E_R=(A\cup E_R)\setminus (A\cap E_R)\stackrel{!}{=}A\).
Der mittlere Ausdruck kann mit den Distributivgesetzen (https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre#Gesetzm%C3%A4%C3%9Figkeiten) zu folgendem umgeformt werden:
$$ \begin{aligned}&(A\cup E_R)\setminus \underbrace{(A\cap E_R)}_{=:C}\\&=(A\cup E_R)\setminus C\\&=(A\setminus C)\cup (E_R\setminus C)\\&=(A\setminus (A\cap E_R))\cup (E_R\setminus (A\cap E_R))\\&=\Bigg((A\setminus A)\cup (A\setminus E_R)\Bigg) \cup \Bigg((E_R\setminus A)\cup (E_R\setminus E_R)\Bigg)\\&=\Bigg(\{\}\cup (A\setminus E_R)\Bigg) \cup \Bigg((E_R\setminus A)\cup \{\}\Bigg)\\&=(A\setminus E_R)\cup (E_R\setminus A)\stackrel{!}{=}A\end{aligned} $$
Aus der letzten Zeile lässt sich erahnen, dass \(E_R=\{\}\) gelten muss.
>>>>> Ende der Schmierarbeit<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Es gilt also mit \(E_R=\{\}\) für alle \(A\in R\)
$$ A+E_R=(A\cup \{\})\setminus (A\cap \{\})=A\setminus \{\}=A $$
Für das zweite Axiom kannst du in analoger Vorgehensweise ein inverses Element (Menge) finden. Du musst also eine Menge \(B\in R\) finden, sodass \(A+B=\{\}\) für alle \(A\in R\) gilt.
