Beweis Ringaxiome... Distributivität

Question

Wie beweist man die Distributivität eines Rings?

So lautet die Aufgabenstellung:

(a)  Zeigen Sie: Ist A eine beliebige nicht-leere Menge und R ein Ring, so ist Abb(A,R) mit den folgenden Verknüpfungen ein Ring:

f + g ist definiert durch: (f + g)(x) := f(x) + g(x) für alle x ∈ A.
f · g ist definiert durch: (f · g)(x) := f(x) · g(x) für alle x ∈ A. 

Comments

Muss das morgen abgeben und habe kein Plan wie ich das beweisen soll

---

Du wendest einfach nur die Definition auf die Distributivität an. Das Nachrechnen solltest du schon hinbekommen.

---

Eben nicht... vielleicht schon etwas spät

---

Schicke mir deinen Ansatz bzw. erkläre mir wo es Probleme gibt und ich helfe dir gerne weiter

---

Das Problem ist einfach, dass ich nicht weiß, wie ich das Distributivgesetz beweisen soll

Answer 1

Dist.ges. besagt:

Für alle f,g,h aus  Abb(A,R)  gilt:

(f+g)*h = f*h + g*h

Damit da stimmt musst du zeigen: Für alle x aus A gilt

((f+g)*h)(x)  =( f*h + g*h )(x) .

Jetzt die Definitionen anwenden

((f+g)*h)(x)  =    Def. von *

(f+g)(x) * h(x) =   Def. von +

(f(x) + g(x) ) * h(x)  =  Dist. in R

f(x)*h(x) + g(x)*h(x)  =  Jetzt wieder 2x Def. von *

(f*h)(x) + (g*h)(x) =    Def. von +

( f*g + g*h) (x)   Bingo!

Comments

Muss man bei einem Ring auch beweisen, dass das Assioziativitätsgesetz gilt?

---

Schau mal dort:https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#RingHalbgruppe und abelsche Gruppe enthalten die

Forderung nach der Assoziativität.

---

Und wie beweist man diese?

---

wie immer, einfach nachrechnen, etwa

(f+g)+h = f + (g+h) 

Und dann zeigen, dass für alle x aus A gilt

((f+g)+h )(x) =( f + (g+h)  ) (x)mehrmals Def. von + anwenden und Assoziativität in R ausnutzen.

---

Stehe immer noch auf dem Schlauch

---

Ich möchte ja keine Kritik an dir üben, aber vielleicht solltest du dein Zeitmanagement ändern und dich einmal tief in die Materie einarbeiten, dann klappt das auch mit der Bearbeitung der Aufgaben besser.

Assoziativität:

z.z. : (f+g)+h=f+(g+h)

Sei x∈A, dann gilt:

((f+g)+h)(x) = (f+g)(x)+h(x) = (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+((g+h)(x))=(f+(g+h))(x)

Du verwendest einfach nur die Definition und dann die Eigenschaft, dass R ein Ring ist.

---

Weiß nicht wie ich das dann wieder beweisen soll

---

Was d'Alembert geschrieben hat ist der Beweis. Du solltest aber
vielleicht bei jedem Schritt das Argument hinzufügen.