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Hallo!
Es geht, um diese Summe zu beweisen.
(b) \( \sum \limits_{k=0}^{m}\left(\begin{array}{c}n+k \\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+m+1 \\ n+1\end{array}\right) \).

Ich wollte sie per Induktion beweisen, aber wenn ich die Aussage für n+1 zeigen will, war es schwierig für mich. Ich habe leider keine Idee, wie sollte man sie lösen.

Wäre lieb wenn jemand mir helfen könnte.

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 \( \sum \limits_{k=0}^{m}\left(\begin{array}{c}n+k \\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+m+1 \\ n+1\end{array}\right) \).

Induktion ist schon die richtige Idee, allerdings über m.

Denn das n ist ja einfach nur eine fest vorgegebene nat. Zahl.

Für m=0 hast du dann  \( \left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n+1\end{array}\right) \).

Das passt ja schon mal.

Wenn es nun für ein m gilt, dann hat man:

\( \sum \limits_{k=0}^{m+1}\left(\begin{array}{c}n+k \\ n\end{array}\right) \)

\( =\sum \limits_{k=0}^{m}\left(\begin{array}{c}n+k \\ n\end{array}\right) +\left(\begin{array}{c}n+m+1 \\ n\end{array}\right) \)

Mit der Induktionsannahme also

\( = \left(\begin{array}{c}n+m+1 \\ n+1\end{array}\right)  +\left(\begin{array}{c}n+m+1 \\ n\end{array}\right) \)

und das ist ja nach der gängigen Rekursionsformel

\( = \left(\begin{array}{c}n+m+1+1 \\ n+1\end{array}\right)  \)

Also passt es !

Avatar von 289 k 🚀

Ich hab wirklich nicht bemerkt, dass es um m geht… Ich bin sehr dankbar!!

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