Zeigen Sie, dass (G, ∗) Abel’sch ist.

Question

Sei (G, ∗) eine Gruppe, für die die Funktion
f : G → G, f(g) := g³,
in surjektiver Homomorphismus ist.
Zeigen Sie, dass (G, ∗) Abel’sch ist.
Hinweis: Zeigen Sie, dass für alle g, h ∈ G die Beziehung g² ∗ h² = (h ∗ g)² und damit g⁴ ∗ h⁴ = (g ∗ h)⁴
gilt, woraus Sie die Identität g ∗ h³ = h³ ∗ g folgern können.

Danke im Voraus

Answer 1

Einen Anfang hätte ich:

Seien g, h ∈ G. Da f surjektiv ist, gibt es a,b ∈ G mit g=a^3 und h=b^3.

Da f ein Hom. ist gilt f(g*h) = f(g)*f(h)

==>            (g*h)^3 = g^3 * h^3

==>      g*h*g*h*g*h = g*g*g*h*h*h

Da h ∈ G , besitzt h ein Inverses h^-1 und damit (von rechts)

multipliziert entsteht die Gleichung

               g*h*g*h*g = g*g*g*h*h

entsprechend mit h^-1 von links gibt es

                h*g*h*g =  g*g*h*h  also das gewünschte

             (h ∗ g)^2 = g^2 ∗ h^2  für alle g, h ∈ G.