Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt?

Question

Aufgabe:

Ein Vater legt zum 7. Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem 22. Geburtstag ein Startkapital in Höhe von 330000 GE zu sichern. 4 Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf 6.80% herab und der Vater muss 28218.27 GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

Problem/Ansatz:

1. Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

2. Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?

Comments

vgl. https://www.mathelounge.de/882980/ von heute

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[330000/(1+r)^15*(1+r)^4+28218.27]*(1+0.068)^8=330000

nach r umformen:

r= 0.064 → 6.4%

A: A*(1.064)^15=330000

Leider sind beide Ergebnisse falsch. Können Sie mir sagen, was ich falsch gemacht habe? Wahrscheinlich die "^8", aber ich verstehe nicht, was ich stattdessen eingeben soll.

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Du sollst ja nicht einfach die Formel von dort unverändert übernehmen, sondern die Exponenten an die Laufzeiten der Aufgabe hier anpassen.

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Soll ich sie in meiner Formel durch 1+0,068^7=33000 ersetzen, wenn " Ein Vater legt zum 7. Geburtstag"?

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Nein. Die Exponenten sind Laufzeiten, nicht das Lebensalter der Begünstigten zu Beginn der Spardauer. Du solltest Dich mit den Formeln der Zinsrechnung vertraut machen, wenn Du Aufgaben zur Zinsrechnung lösen willst.

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Was habe ich also bei dieser Formel falsch gemacht?

[330000/(1+r)^15*(1+r)^4+28218.27]*(1+0.068)^8=330000

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Wie kommst Du auf diese Formel? Es ist nicht nachvollziehbar, wie man damit etwas ausrechnet, was mit der Aufgabe zu tun hat.

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330000/q^15=(330000/1.068^8-28218.27)/q^4

= 1.064 → 6.4%

Stimmt das jetzt?

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Nein, siehe oben. Wie kommst Du auf den Exponenten 8? Sind wir hier beim heiteren Lösungsraten?

Das 6,4 % kann schon darum nicht stimmen, weil in der Aufgabe steht, der Zinssatz sei auf 6,8 % reduziert worden.

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Das ist genau die Frage, die ich Ihnen stelle. Ich verstehe nicht, was ich anstelle von 8 eingeben soll. Können Sie mir bitte helfen?

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Das hatte ich versucht mit dem Vorschlag, dass Du Dich mit den Formeln zur Zinsrechnung vertraut machen sollst, wenn Du Aufgaben zur Zinsrechnung lösen willst.

Im vorliegenden Fall:

Das Kapital vermehrt sich 4 Jahre mit dem jährlichen Faktor q, wird dann um 28218.27 erhöht und vermehrt sich dananch 11 Jahre mit dem jährlichen Faktor 1.068 um nach 4+11 = 15 Jahren (Alter 7 bis 22) den Wert 330000 anzunehmen.

Oder rückwärts gerechnet (diskontiert vom Endkapital auf das Anfangskapital): Wäre das Kapital 15 Jahre mit q verzinst worden, ist das dasselbe wie wenn der aufgestockte Betrag die letzen 11 Jahre (Alter 11 bis 22) mit 6,8 % und in den ersten vier Jahren der urspüngliche Betrag mit q verzinst worden wäre.

330000 / q^15 = (330000/1.068^11 - 28218.27) / q^4

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In 15 Jahren sollen 330.000 GE angespart werden

\(K_0\cdot q^{15} =330.000\)

Nach 4 Jahren muss er 28218.27 GE nachzahlen und bekommt für die restlichen 11 Jahre noch 6,8%.

\((K_0\cdot q^4+28.218,27)\cdot 1,068^{11}=330.000\)

Kommst du damit weiter?

Answer 1

K*q^15 = 330000

K= 330000/q^15

(330000/q^11+ 28218,27)*1,068^11 = 330000

q= 1,087 -> i=8,7%

K= 94421,47