Beweisaufgabe: Vereinigung zweier Vektorräume

Question

folgende Aufgabe habe ich:

Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U, W zwei Unterräume von V, so dass gilt V= U ∪W.

Beweisen Sie, dass U=V oder W=V.

"∪" ist ja die Vereinigungsmenge. Dann heißt es ja, es gibt ein Vektor v, der in U vereinigt mit W liegt, also er liegt in U oder in W, oder? Wie muss ich weitermachen, so dass ich U=V und W=V rausbekomme?

Answer 1

Angenommen, es wäre \(U\neq V\) und \(W\neq V\).

Dann gäbe es \(u\in U\backslash W\) und \(w\in W\backslash U\quad (*) \).

Es folgt \(u+w\in V=U\cup W\), also

\(u+w\in U\) oder \(u+w\in W\),

also \(w=(u+w)-u\in U\) oder \(u=(u+w)-w\in W\)

im Widerspruch zu \((*)\),

q.e.d.

Comments

Können Sie mir vielleicht den Teil mit "w=(u+w)-u" und "u=(u+w)-w" klären, also wie man darauf kommt?

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Wenn \(u+w\ \in U\) ist und \(u\in U\) ist, dann ist auch

\((u+w)-u\in U\), da \(U\) ein Vektorraum ist.

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Achso okay, dankeschön!