Die allgemeine lineare Differentialgleichung

Question

Hallo, ich will diese Aufgabe lösen, aber ich weiß nicht ,wie ich anfangen um zu Beweisen .

Ob jemanden Idee hat ?

oder mich helfen kann ?

Es geht um Differentialgleichung ,ich muss Zeigen folgende Funktion

   

Text erkannt:

\( y(t)=\left(y_{0}+\int \limits_{t_{0}}^{t} e^{-A(s)} b(s) \mathrm{d} s\right) e^{A(t)} \)
wobei
\( A(t)=\int \limits_{t_{0}}^{t} a(s) \mathrm{d} s \)
tatsächlich Lösung des Anfangswertproblems
\( y^{\prime}=a(t) y+b(t), \quad y\left(t_{0}\right)=y_{0} \)
ist.

Comments

Ob jemanden Idee hat ?

Ja, es wird behauptet, dass die angegebene Funktion y die unten stehende Differentialgleichung löst. Dazu brauchst Du nur die Probe machen. D.h. Du berechnest y'(t) und setzt es in die Differentialgleichung ein. Die Berechnung von y' ist etwas kompliziert, weil die meisten der Differentiationsregeln benötigt werden. Als erstes wäre die Produktregel zu verwenden.

Gruß Mahthilf

Answer 1

$$  y(t) = y_0 e^{A(t)} +   \int_{t_0}^t e^{-A(s)} b(s) ds \ e^{A(t)} $$ Deshalb

$$ y'(t) = y_0 A'(t) e^{A(t)} + e^{ -A(t) } b(t) e^{A(t)} + \int_{t_0}^t e^{-A(s)} b(s) ds \cdot A'(t) e^{A(t)} $$ wobei \( A'(t) = a(t) \) gilt, also insgesamt

$$  y'(t) = y_0 a(t) e^{A(t)} + b(t) + \int_{t_0}^t e^{-A(s)} b(s) ds \cdot A'(t) e^{A(t)} = a(t) \left( y_0 + \int_{t_0}^t e^{-A(s)} b(s) ds \right) e^{A(t)} + b(t) $$ also $$ y'(t) = a(t) y(t) + b(t) $$ und es gilt

$$ y(t_0) = y_0 $$ wegen $$ A(t_0) = 0 $$