Steckbriefaufgabe Hilfe, Funktion ableiten

Question

Guten Morgen!

Morgen steht ein Test an. Im Buch lautet die Aufgabe:

Beweisen Sie, dass es eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften geben kann:

Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Grades lautet berührt I'm Punkt (2/0) die x Achse, hat I'm Punkt 0/0 ein Wendepunkt und die Wendetagente schneidet die x Achse unter dem Winkel 45°

Bitte hilft mir

Comments

Fehlt da nicht etwas? Die zweite Ableitung soll angegeben werden?

Answer 1

ganzrationale Funktion 4. Grades  f(x)=ax^4 +bx^3+cx^2+dx + e

berührt  f ' (2)=0      I'm Punkt (2/0)    f(2)=0   die x Achse,

hat I'm Punkt 0/0     f(0)=0  einen Wendepunkt f ' ' (0)=0

und die Wendetagente schneidet die x Achse unter dem Winkel 45°   f ' (0)=1 

Die letzten 3 Bedingungen geben e=0 c=0 und d=1

also f(x)=ax^4 +bx^3+x ==>  f ' (x) = 4ax^3 + 3bx + 1

==>  16a + 8b + 2 = 0 und 32a + 12b + 1 = 0

==>  a=1/4 und b=-3/4 also

f(x)= 1/4 x^4 -3/4 x^3 + x

So eine Funktion gibt es (Musst halt alles nachprüfen)

sieht so aus ~plot~  1/4*x^4 -3/4*x^3 + x ~plot~

Comments

mathef, bei deiner Gleichung berührt der Graph von f(x) die x-Achse bei x = 2, aber nicht der von f''(x)

Ich habe u.a. die Bedingungen f''(2) = 0 und f'''(2) = 0 aufgestellt, die sich aber widersprechen. Oder denke ich falsch?

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Ich denke Du recht und die Aufgabe führt zu keiner Lösung.

Answer 2

Aloha :)

Bist du sicher, dass du beweisen sollst, dass es so ene Funktion gibt, oder ob es so eine Funktion gibt?

Die 2-te Ableitung \(f''(x)\) berührt im Punkt \((2|0)\) die \(x\)-Achse. Bei \(x=2\) liegt also eine doppelte Nullstelle vor, das heißt, die 2-te Ableitung enhält den doppelten Linearfaktor \((x-2)^2\).

Diese zweite Ableitung hat keinen Wendepunkt, weil quadratische Polynome nie einen Wendepunkt haben.

Wenn die Fuktion \(f(x)\) den Wendepunkt bei \((0|0)\) haben soll, müsste die 2-te Ableitung auch die Nullstelle \((0|0)\) haben, das heißt aber, dass sie auch noch den Linearfaktor \(x\) enthalten muss:$$f''(x)=a\cdot x\cdot(x-2)^2=a(x^3-4ax^2+4x)$$Dann wäre \(f''(x)\) aber ein Polynom 3-ten Grades und damit \(f(x)\) ein Polynom 5-ten Grades.

Daher gibt es keine solche Funktion.

Du hast vielleicht den Aufgabentext nicht vollständig und korrekt wiedergegeben. Vergleiche bitte mal deine Frage mit der Original-Aufgabe.