Wahrscheinlichkeiten bestimmen: Eisbecher mit verschiedenen Sorten und unterschiedlicher Anzahl Kugeln

Question

Aufgabe:

Im Eissalon Corleone kann man zwischen den Sorten Erdbeer, Vanille, Nuss und Schlumpf wählen.
Tom wählt seine Bestellung per Laplace-Zufallsexperiment. Das Ergebnis des Experiments ist ein
Becher mit 1, 2 oder 3 beliebigen Kugeln.

a) Skizzieren Sie den Ergebnisraum. Wieviele Elemente gibt es?
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A (”Der Becher enthält mindestens
eine Schlumpf-Kugel”)
c) Tom sagt: “Das Schlumpf-Eis war lecker” - er hatte also mindestens eine Kugel Schlumpf.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Becher mit 3 Kugeln hatte?

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich bin gerade dabei die oben genannte Aufgabe zu lösen. Ich bin mir hier leider wieder unsicher und ich weiß nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin. Gegoogelt und hier im Forum gesucht habe ich bereits...

a) Als Ergebnisraum habe ich alle Sorten in den verschiedensten Variationen augeschrieben:
E = Erdbeer, V = Vanille, N = Nuss, S = Schlumpf

Ω = {(E), (V),(N), (S)
      (E,V),(E,N)(V,N),(V,S).....
      (EEE),(EVV).....
      .....}

Danach habe ich mit (gedacht: mit zurücklegen, ungeordnete Stichprobe) für jede Anzahl Kugeln:

n+k-1
 k     gerechnet, mein n = 4(da vier Sorten Eis), mein k= ist 1, dann 2, dann 3. Damit müsste ich 34 Elemente haben, richtig?

b) Die Wahrscheinlichkeiten habe ich auch wieder einzeln berechnet. Es ist nach meinem Empfinden hin mehr geraten als gerechnet, wie kann ich hier einen sinnvollen Rechenweg aufstellen

1x mal ziehen 1/4 = 25% 
2x mal ziehen 4/10 =40%
3x ziehen 10/20 = 50%

c)Auch hier habe ich das Problem auf den richtigen Rechenweg zu gelangen. Hier hatte ich

20/34 = 10/17 = 58%

Vielen Dank schonmal für eure Tipps!

Gruß Nils

Comments

a und b sind richtig,für c beachte, dass sich die Wahrscheinlichkeiten wie
1/4 : 4/10 : 10/20 verhalten, also wie 5/20 : 8/20 : 10/20, das ist wie 5 : 8 : 10.
Ich erhalte daher nicht 10/17 sondern 10/23. (Bzw kürzer : 50 / (25 + 40 + 50)  =  10/23)

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@Gast hj2166

Wenn man ein Laplace Experiment hat, hat doch jedes Ergebnis der Ereignismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit also 1/34.

So würde ich es zumindest interpretieren.

Answer 1

Im Eissalon Corleone kann man zwischen den Sorten Erdbeere, Vanille, Nuss und Schlumpf wählen. Tom wählt seine Bestellung per Laplace-Zufallsexperiment. Das Ergebnis des Experiments ist ein Becher mit 1, 2 oder 3 beliebigen Kugeln.

a) Skizzieren Sie den Ergebnisraum. Wie viele Elemente gibt es?

Ω = {E, V, N, S, EE, EV, EN, ES, VV, VN, VS, NN, NS, SS, EEE, EEV, EEN, EES, EVV, EVN, EVS, ENN, ENS, ESS, VVV, VVN, VVS, VNN, VNS, VSS, NNN, NNS, NSS, SSS}

((4 über 1)) = (4 + 1 - 1 über 1) = (4 über 1) = 4
((4 über 2)) = (4 + 2 - 1 über 2) = (5 über 2) = 10
((4 über 3)) = (4 + 3 - 1 über 3) = (6 über 3) = 20

|Ω| = 4 + 10 + 20 = 34

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A (”Der Becher enthält mindestens eine Schlumpf-Kugel”)

P(Mindestens ein S) = P(S, ES, VS, NS, SS, EES, EVS, ENS, ESS, VVS, VNS, VSS, NNS, NSS, SSS) = (1 + 4 + 10)/34 = 15/34

c) Tom sagt: “Das Schlumpf-Eis war lecker” - er hatte also mindestens eine Kugel Schlumpf. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Becher mit 3 Kugeln hatte?

P(3 Kugeln | mind. ein S) = P(EES, EVS, ENS, ESS, VVS, VNS, VSS, NNS, NSS, SSS) / P(S, ES, VS, NS, SS, EES, EVS, ENS, ESS, VVS, VNS, VSS, NNS, NSS, SSS) = (10/34)/(15/34) = 2/3