Fragen zum Vektorraum

Question

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich habe leider keine Idee, wie ich vorgehen soll.

Danke im voraus

Text erkannt:

Aufgabe \( \mathbf{2 . 4} \) (Beispiele für Vektorräume : \( 4+3+4=11 \) Punkte).
(a) Prüfen Sie, dass
\( \mathbb{Q}[\sqrt{(} 2)]:=\{a+\sqrt{2} b: a, b \in \mathbb{Q}\} \)
ein Vektorraum über \( \mathbb{Q} \) ist mit \( \left.\operatorname{dim}_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}[\sqrt{(} 2)]\right)=2 . \) Ist \( \left.\mathbb{Q}[\sqrt{(} 2)\right] \) auch ein Körper?
(b) Prüfen Sie, dass \( \mathbb{C} \) ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) ist mit \( \operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=2 . \)
(c) Ist \( X \) eine nichtleere Menge, \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und \( \operatorname{Abb}(X, V) \) die Menge aller Abbildungen von \( X \) nach \( V \), so ist auf \( \operatorname{Abb}(X, V) \) durch
\( (f+g)(x):=f(x)+g(x), \quad(\lambda \cdot f)(x):=\lambda f(x) \)
eine Addition und eine skalare Multiplikation erklärt. Zeigen Sie, dass \( \operatorname{Abb}(X, V) \) mit diesen Verknüpfungen zu einem \( K \)-Vektorraum wird. Ist \( \operatorname{Abb}(X, V) \) endlich-dimensional?

Answer 1

a)  Du musst nur die Vektorraumaxiome prüfen, also etwa

(ℚ[√2] , + ) ist eine kommutative Gruppe, also

1. Abgeschlossenheit. 2 Elemente aus (ℚ[√2] , + ) sehen allgemein

so aus a+b√2   und c+d√2´.

Ihre Summe ist (a+c) + (b+d)√2 also wieder aus ℚ[√2]

assoziativ: Da das alles reelle Zahlen sind gilt Assoziativität von +

neutrales El ist 0 =  0+0√2  also in ℚ[√2]

das inverse zu a+b√2 ist   -a+(-b)√2 und da mit a,b auch -a und -b aus ℚ

sind, ist das auch erfüllt.

etc.