1) Es gibt einen R-Vektorraum der Dimension 4, der keinen Unterraum der Dimension 3 besitzt?
Nein: wähle eine Basis , die hat 4 Elemente und
betrachte das Erzeugnis der 1. drei. Das ist immer ein 3-D Vektorraum
2) Sei f: M33 (F2) -> M23 (F2) linear, und seien B eine Basis von M33 (F2) und C eine Basis von M23 (F2).
Dann ist cMB(f) eine 9 x 6 -Matrix.
3) Der Vektorraum der Polynome von Grad ≤ 3 über Q ist isomorph zu M22(Q).
Ja, Isomorphismus ist z.B. ax^3 + bx^2 + cx + d ---> a b
c d
4) Es gibt eine lineare Abbildung f : M22(R) -> R mit Kern (f) = {0}.
Nein, dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = dim(M22(R)) heißt
0 + dim(Bild(f)) = 4
aber dim(Bild(f)) ≤ 1 = dim ( IR)
5) Es gibt eine surjektive, lineare Abbildung f: R -> M22(R).
Nein, dann wäre dim(Bild(f)) = 4 und die Gleichung aus 4 nicht möglich