Fragen zur Algebra, Vektorraum

Question

Weiss jemand ob diese Aussagen wahr oder falsch sind? Bin für jede Hilfe dankbar:

1) Es gibt einen R-Vektorraum der Dimension 4, der keinen Unterraum der Dimension 3 besitzt?

2) Sei f: M₃₃ (F₂) -> M₂₃ (F₂) linear, und seien B eine Basis von M₃₃ (F₂) und C eine Basis von M₂₃ (F₂).

Dann ist _cM_B(f) eine 9 x 6 -Matrix.

3) Der Vektorraum der Polynome von Grad ≤ 3 über Q ist isomorph zu M₂₂(Q).

4) Es gibt eine lineare Abbildung f : M₂₂(R) -> R mit Kern (f) = {0}.

5) Es gibt eine surjektive, lineare Abbildung f: R -> M₂₂(R).

Answer 1

1) Es gibt einen R-Vektorraum der Dimension 4, der keinen Unterraum der Dimension 3 besitzt?

Nein:  wähle eine Basis , die hat 4 Elemente und

betrachte das Erzeugnis der 1. drei. Das ist immer ein 3-D Vektorraum

2) Sei f: M₃₃ (F₂) -> M₂₃ (F₂) linear, und seien B eine Basis von M₃₃ (F₂) und C eine Basis von M₂₃ (F₂).

Dann ist _cM_B(f) eine 9 x 6 -Matrix.

3) Der Vektorraum der Polynome von Grad ≤ 3 über Q ist isomorph zu M₂₂(Q).

Ja, Isomorphismus ist z.B.   ax^3 + bx^2 + cx + d --->   a b
                                                                                                      c d

4) Es gibt eine lineare Abbildung f : M₂₂(R) -> R mit Kern (f) = {0}.

Nein, dim(Kern(f)) + dim(Bild(f)) = dim(M₂₂(R)) heißt

                       0        +      dim(Bild(f)) =   4  

aber dim(Bild(f)) ≤ 1 = dim ( IR)

5) Es gibt eine surjektive, lineare Abbildung f: R -> M₂₂(R).   

Nein, dann wäre    dim(Bild(f)) =   4 und die Gleichung aus 4 nicht möglich  

Comments

2) ist richtig oder? Aber wie kommt man auf eine 9 x 6 Matrix weiß du das?

---

Ach so, hatte ich ganz übersehen.

Bei M3,3 sind es ja 3x3 Matrizen und für eine Basisi braucht man da 9 Stück.

Einfachster Fall: eine 1 und sonst nur Nullen

Entsprechend bei M23 sind es 6 also Matrix

mit 9 Spalten und 6 Zeilen.

Dann wäre das aber wohl eher 6x9 oder???