Gesucht ist das zugehörige trigonometrische Polynom bzw. die n-te Fourierapproximation. f(x) = cos^2(x).

Question

Hallo. Ich komme hier gar nicht klar. Ich hoffe jemand kann mir helfen :(

Gegeben ist die Funktion f(x)= cos^2 (x) , gesucht ist das zugehörige trigonometrische Polynom bzw. die n-te Fourierapproximation für n≥ 2.

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (und des trigonometrischen Pythagoras), dass gilt

     cos^2 (x) = 1/2+1/2 cos (2x)

b) Bestimmen Sie die kleinste Periode von f (mit Hilfe von a).

c) Überzeugen Sie sich, ob f eine gerade oder eine ungerade Funktion ist .?

d) Bestimmen Sie nun die Koeffizienten der zu f gehörenden der n-ten Fourierapproximation (n ≥ 2).

Comments

Hi, bräuchte bitte mal die Lösung und Rechenweg für diese Aufgabe aus einem Übungsheft,

möchte verstehen wie man an diese Art von Aufgabe herangeht und löst

Danke

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Am besten du schlägst alle Begriffe in der Wikipedia nach und befolgst dann die gegebenen Hinweise.

Ich mache das mal für a)

a) cos(2x) = cos(x+x)  | Additionstheorem

= cos(x)*cos(x) - sin(x)(sin(x)

= cos^2(x) - sin^2(x)              | trigonometrischer Pythagoras

= cos^2(x) - (1 - cos^2(x))

= 2cos^2(x) - 1

Also

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1   | + 1

1 + cos(2x) = 2 cos^2(x)      | :2

1/2 + 1/2*cos(2x) = cos^2(x)

q.e.d. a)

b) cos(x) hat die Periode 2π.

cos(2x) hat die Periode π

1/2 ist konstant und hat keinen Einfluss auf die Periodenlänge

cos^2(x) hat die Periode π

c) cos^2(x) = cos^2(-x)

==> f ist gerade.

d) Umformung aus a) und Formel aus Wikipedia benutzen.

Answer 1

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (und des trigonometrischen Pythagoras), dass gilt

     cos² (x) = 1/2+1/2 cos (2x)

cos(2x) = cos (x+x)    |Additionstheorem

= cosx cosx -sinx sinx

= cos^2 x - sin^2 x        |sin^2 x = 1- cos^2 x

= cos^2 x - (1-cos^2 x)

=2 cos^2 x - 1

Also 

2 cos^2 x - 1 = cos(2x)     |+1

2 cos^2 x  = cos(2x)  +1   | / 2

cos^2 x = 1/2 + 1/2 cos(2x)

b) Bestimmen Sie die kleinste Periode von f (mit Hilfe von a).

Kleinste Periode? 2x = 2π -----> x=π

c) Überzeugen Sie sich, ob f eine gerade oder eine ungerade Funktion ist .?

f(-x) =cos^2 (-x) = cos^2 x = f(x). 

==> f ist eine gerade Funktion.

d) Bestimmen Sie nun die Koeffizienten der zu f gehörenden der n-ten Fourierapproximation (n ≥ 2).

Die ungeraden Summanden sin(kx) kannst du weglassen. Es können nur gerade Summanden ≠0 und eine Konstante rauskommen.

Nach der Rechnung muss sich ergeben:

f(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x) ist die n-te Fourierapproximation (n≥2)

Comments

könntest du mir zeigen du auf d kommst irgendwie bekomme ich immer was anderes raus

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Mein Ergebnis bei d) war nur eine Vorhersage aufgrund der Rechnung in a).

Berechnen kannst du die Koeffizienten (hoffentlich) mit den üblichen Formeln.

Möchtest du ein Bild deiner Rechnung hochladen?

Das bestimmte Integral über cos^2(x) von 0 bis 2π ist aus Symmetriegründen 1*2π/2 = π. (vgl. Graph oben).

Answer 2

Eigentlich solltest du mal selber probieren ein wenig zu Spielen und Experimentieren. Also eventuell nur immer die nächste Zeile durchlesen und dann wieder selber Probieren.

a)

COS(x)^2 = 1/2 + 1/2·COS(2·x)

2·COS(x)^2 = 1 + COS(2·x)

2·COS(x)^2 = 1 + COS(x)^2 - SIN(x)^2

COS(x)^2 = 1 - SIN(x)^2

SIN(x)^2 + COS(x)^2 = 1

b)

Bestimme die Periode von 1/2 + 1/2·COS(2·x). Ich denke du kennst die Periode von COS(x) und weißt wie sich ein Faktor 2 beim x auswirkt.

c)

gerade gilt wenn f(- x) = f(x)

ungerade gilt wenn f(- x) = - f(x)

d)

Die Koeffizienten von 1/2 + 1/2·COS(2·x) sollte dir nicht unbedingt schwer fallen.