Matrizen und VektorräumeI Inverse bestimmen. Matrizen multiplizieren. Parameter für Unterräume angeben

Question

Aufgabe:

(a) Berechnen Sie die Inverse der Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right) \quad \text { für } a \neq \frac{7}{2} \)

(b) Berechnen Sie für beliebige Winkel \( \alpha \) und \( \beta \) die Matrizen \( A(\alpha) \cdot A(\beta) \) und \( A(\alpha+\beta) \) und vergleichen Sie das Ergebnis. (Bezeichnung von \( A(\alpha) \) siehe Aufgabe 1). Kommentieren Sie Ihre Beobachtung.

(c) Wie muss man die Parameter \( a, b \in \mathbb{R} \) wählen, damit die Teilmenge
\( U=\left\{\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mid \quad 3 x+4 y+a x y+8 z+b-7=0\right\} \)
ein Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{3} \) ist? Begründen Sie Ihre Überlegungen ausführlich.

Answer 1

Inverse der Matrix

Ich kehre mal die Zeilen- und Spaltenreihenfolge um, damit das a ganz unten rechts liegt:

[-1, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, 2, -1, 0, 1, 0]
[-2, 1, a, 0, 0, 1]

[-1, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, 2, -1, 0, 1, 0]
[0, -1, 4 - a, 2, 0, -1]

[-1, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, 2, -1, 0, 1, 0]
[0, 0, 7 - 2·a, 4, 1, -2]

[-1, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, 2, -1, 0, 1, 0]
[0, 0, 1, 4/(7 - 2·a), 1/(7 - 2·a), 2/(2·a - 7)]

[-1, 0, 2, 1, 0, 0]
[0, 1, 0, 2/(7 - 2·a), (a - 4)/(2·a - 7), 1/(2·a - 7)]
[0, 0, 1, 4/(7 - 2·a), 1/(7 - 2·a), 2/(2·a - 7)]

[1, 0, 0, (2·a + 1)/(7 - 2·a), 2/(7 - 2·a), 4/(2·a - 7)]
[0, 1, 0, 2/(7 - 2·a), (a - 4)/(2·a - 7), 1/(2·a - 7)]
[0, 0, 1, 4/(7 - 2·a), 1/(7 - 2·a), 2/(2·a - 7)]

Damit haben wir die Inverse. Jetzt müssen wir die Vertauschung der Zeilen und Spaltenreihenfolge wieder Rückgängig machen.

[2/(2·a - 7), 1/(7 - 2·a), 4/(7 - 2·a)]
[1/(2·a - 7), (a - 4)/(2·a - 7), 2/(7 - 2·a)]
[4/(2·a - 7), 2/(7 - 2·a), (2·a + 1)/(7 - 2·a)]

Nun würde ich hier noch der Übersicht halber ein 1/(2·a - 7) ausklammern

[2, -1, -4]
[1, a-4, -2] * 1/(2·a - 7)
[4, -2, -2a - 1]

Comments

danke schön :)

 

wobei

ist denn bei dir die bedingung das a nicht gleich 7/2 sein darf unbeachtet?

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Die ist nicht unbeachtet

a darf nicht 7/2 sein da ja sonst der Nenner 0 wird und das ist nicht erlaubt.

Denk daran, dass ich "1/(2·a - 7)" ausgeklammert hatte. Wir sehen das wenn wir für a 7/2 einsetzen der Nenner null wird.

 

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mh is mir auch aufgefallen^^ sry wald vor laut bäumen und so^^

 

danke abermals :)

Answer 2

Eine Vorschlag zu c) von dem ich keine Ahnung habe, ob das schon alles ist

Zu c) 3x + 4y + axy + 8 z + b - 7 = 0.

Wenn a=0 und b =7

Hat man 3x + 4y + 8z = 0: Die Ortsvektoren  einer Ebene, die durch den Punkt (0/0/0) geht und senkrecht auf dem Vektor (3,4,8) [vertikal schreiben!] steht. Das ist sicher ein echter Untervektorraum des IR³.

Wenn a nicht 0 ist, ist die beschriebene Punktmenge nicht mehr eben aber nur ein kleiner Teil von IR3. Kann also mE kein Untervektorraum mehr sein, weil er bezüglich  Vektoraddition (die immer weitere Punkte in derselben Ebene hinzufügt) nicht abgeschlossen ist. [Ich kann mir einfach schlecht gebogene Vektoren vorstellen, mit denen eine solche Addition einfach klappen könnte].
Dennoch  würde ich das Gebilde immer noch 2-dim. nennen.

b≠7 bedeutet, dass der Vektor (0/0/0) nicht dazugehört. So hat die Vektoraddition kein neutrales Element mehr. Somit kein Vektorraum.

Fazit: b muss 7 und a muss 0 sein.