Matrizen auf Unterräume prüfen

Question

Aufgabe:

Sei M(2,2) die Menge aller quadratischen Matrizen zweiter Ordnung. Es sei U ⊂ M(2,2) die Menge aller Matrizen der Form \( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \) ; wobei a,b∈ℝ ist.

Zeige, dass Summe und Produkt zweier beliebigen Matrizen aus U, sowie das Produkt einer Matrix aus U mit einem Skala wieder zu U gehöhren

und ist U ein Unterraum von M(2,2), gebe die Basis con U an

Problem/Ansatz:

wie gehe ich bei dieser aufgabe vor

Answer 1

dass Summe und Produkt zweier beliebigen Matrizen aus U wieder zu U gehört:

\( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} ac-bd & -ad-bc \\ bc+ad & -bd+ac \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix} \)

Wenn man ac-bd mit a  und ad+bc mit b identifiziert, ist das von der Form

\( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \).  q.e.d.

Produkt einer Matrix aus U mit einem Skalar entsprechend:

\(x \cdot \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \)

\( = \begin{pmatrix} xa & -xb \\ xb & xa \end{pmatrix} \)

Wenn man xa mit a und xb mit b identifiziert, ist das von der Form

\( \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \). q.e.d.