Was bedeutet Bild(f)?

Question

Aufgabe:

Was bedeutet Bild(f)?

Answer 1

Bild(f) ist die Menge aller Funktionswerte einer Funktion,

also bei einer Funktionsgleichung der Art y=f(x)

die Menge aller möglichen y-Werte. Bei

reellen Funktionen oft auch Wertemenge genannt.

Comments

Vielen Dank,

aber was ist dann die Definitionsmenge von f?

Answer 2

Bild = Bildmenge = Wertebereich

Comments

Nein. Bild(f)=f(D), wenn D der Definitionsbereich ist.

Bild(f) ist Teilmenge von W, wenn W der Wertebereich ist,

aber keineswegs immer gleich diesem.

Z.B. ist \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\; x\mapsto x^2\)

eine Funktion mit Definitions- und Wertebereich \(=\mathbb{R}\),

aber Bild\((f)=\mathbb{R}_{\geq 0}\).

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Ah ok, wusste nicht dass man da unterscheidet

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Die Gleichheit von Bildmenge und Wertebereich ist definitionsabhängig, beides wird oft eher getrennt und semantisch verschieden definiert.

Üblicherweise bezeichnet man mit dem Wertebereich/der Wertemenge \(N\) einer Funktion \(f: \ M\rightarrow N\) die Menge aller möglichen Funktionswerte von \(f\).
Das Bild \(Bild(f)=\{y\in N| \ \exists x\in M: \ y=f(x)\}\) von \(f\), bzw. Synonym auch Bildmenge genannt, beschreibt die Menge aller Werte aus der Wertemenge, die durch die Abbildung \(f\) tatsächlich erreicht werden.
Dabei gilt \(Bild(f)\subseteq N\), aber nicht unbedingt \(N\subseteq Bild(f)\) (als weitere Bedingung für \(Bild(f)=N\)).
Letzteres wird insbesondere als Definition für die Surjektivität von \(f\) benutzt, die nicht bei allen Funktionen gegeben ist.

Edit: Huch, da war jemand schneller :).

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@NeverGiveUp: Sehr schön erklärt :-)

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@ermanus Danke :).