Für die Ableitung einer Potenzfunktion gibt es die bekannte sture Regel: " Die Ableitung von xk (nach x ) ist k*xk-1
Entsprechend kann man damit die Ableitung an einer beliebigen Stelle des Definitionsbereichs berechnen, ODER?
NEIN, das kann man nicht so ohne weiteres. Die o.g. Regel gilt z.B. auch für die Potenzfunktion f(x)=x0,5, aber eben NICHT an der zum Definitionsbereich gehörenden Stelle x=0. Da die Funktion dort nicht differenzierbar ist (Tangente parallel zur y-Achse), kann man dort auch nicht die Ableitung mit der genannten Regel bilden.
DAS ist der Grund, warum man die Differenzierbarkeit an einer Stelle explizit fordert, bevor man die Ableitungsregel so rein formal anwenden kann.