Was bedeutet die Notation "ist f an der Stelle x ∈ D differenzierbar" auf deutsch?

Question

Was bedeutet diese Notation auf deutsch?

Was heißt

"ist eine Potenzfunktion f an der Stelle x ∈ D differenzierbar, so lautet ihre Ableitung..."
auf deutsch?

Soll das einfach nur bedeuten "Wenn man x an dieser Stelle ableiten kann dann lautet die Ableitung...."?

Aber warum würde ich das ausdrücklich erwähnen wollen?

Bzw. warum sollte eine Potenzfunktion nicht differenzierbar sein? Ist das nicht redundant?

Answer 1

Für die Ableitung einer Potenzfunktion gibt es die bekannte sture Regel: " Die Ableitung von x^k (nach x ) ist  k*x^k-1  

Entsprechend kann man damit die Ableitung an einer beliebigen Stelle des Definitionsbereichs berechnen, ODER?

NEIN, das kann man nicht so ohne weiteres. Die o.g. Regel gilt z.B. auch für die Potenzfunktion f(x)=x^0,5, aber eben NICHT an der zum Definitionsbereich gehörenden Stelle x=0. Da die Funktion dort nicht differenzierbar ist (Tangente parallel zur y-Achse), kann man dort auch nicht die Ableitung mit der genannten Regel bilden.

DAS ist der Grund, warum man die Differenzierbarkeit an einer Stelle explizit fordert, bevor man die Ableitungsregel so rein formal anwenden kann.

Answer 2

"Ist eine Potenzfunktion f(x)=ax^r an der Stelle x ∈ D differenzierbar, so lautet ihre Ableitung f '(x)=rax^r-1."  

Comments

Das klingt für mich noch weniger deutsch.

Kannst du das auch nicht mathematisch ausdrücken?

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1. Kannst du das nicht auch mathematisch ausdrücken?

(f(x)=ax^r)⇒(f '(x)=rax^r-1)

2. Kannst du das auch nicht-mathematisch ausdrücken?

Ist eine Potenzfunktion f an der Stelle x ∈ D differenzierbar, so lautet ihre Ableitung 'Exponent als Faktor nach vorn und dann um 1 vermindert in den Exponenten'.

Answer 3

Roland hat es eigentlich schon richtig gesagt
Allgemeine Potenzfunktion
f ( x ) = x^a
1.Ableitungsregel
f ´( x ) = a * x^(a-1)

numerisches Beispiel
f ( x ) = x^3
f ´( x ) = 3 * x^(3-1) = 3 * x^2

Comments

Bei Google findest du mit
" mathematik potenzfunktion ableitung "
jede Menge Informationsquellen.
Was anderes als in diesen beiden Anworten
steht dort allerdings auch nicht.