Welche Elemente aus A ×A müssen Sie mindestens zu R hinzufügen, damit Sie eine Halbordnung erhalten?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Menge A := {a, b, c, d, e} und die Relation
R := {(a, a), (a, d), (b, a), (b, b), (c, c), (c, e), (d, c), (d, e), (e, e)} auf A.

a) Welche Elemente aus A ×A müssen Sie mindestens zu R hinzufügen, damit Sie eine Halbordnung erhalten?
b) Ist die so entstandene Halbordnung eine totale Ordnung

Problem/Ansatz:

Ich kann mit diesen Themen absolut nichts anfangen, kann mir jemand helfen?

Answer 1

A := {a, b, c, d, e}

Zeichne fünf Punkte auf ein Blatt Papier, beschrifte sie mit a, b, c, d und e.

R := {(a, a), (a, d), (b, a), (b, b), (c, c), (c, e), (d, c), (d, e), (e, e)}

Zeichne für jedes Paar einen Pfeil vom ersten Punkt zum zweiten Punkt.

a) Welche Elemente aus A ×A müssen Sie mindestens zu R hinzufügen, damit Sie eine Halbordnung erhalten?

Eine Halbordnung ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch.

Reflexivität: Für jedes x ∈ A muss es einen Pfeil von x nach x geben.

Antisymmetrie: Kann nicht hergestellt werden indem hinzugefügt werden. Wenn R nicht antisymmetrisch ist, dann müssen Pfeile entfernt werden.

Transitivität: Für alle x, y, z ∈ A muss gelten: wenn es einen Pfeil von x nach y und einen von y nach z gibt, dann muss es auch einen Pfeil von x nach z geben.