Ordnungsrelationen nachweisen / Reflexitität

Question

Wäre jemand so freundlich mir zu helfen?

ich verzweifel an dieser Aufgabe

Sei M eine beliebige Menge.
a) Zeigen Sie elementar, dass die Mengeninklusion ⊂ auf der Potenzmenge P(M) von M eine Ord-
nungsrelation ist, d.h., dass gilt:
(i) ∀A∈P(M) : A⊂A (Reflexivität ),
(ii) ∀A,B ∈P(M) : (A⊂B) ∧(B ⊂A) =⇒A= B (Antisymmetrie),
(iii) ∀A,B,C ∈P(M) : (A⊂B) ∧(B ⊂C) =⇒A⊂C (Transitivität ).
b) Begr ünden Sie, ob diese Ordnungsrelation im Allgemeinen alternativ ist, d.h. f ür alle A,B ∈ P(M)
gilt eine der Inklusionen A⊂B oder B ⊂A.
Hinweis: Betrachten Sie zum Beispiel eine Menge M mit zwei Elementen.

Answer 1

(i) ∀A∈P(M) : A⊂A (Reflexivität ),

Ist erfüllt, denn für alle x∈A   gilt  x∈A   ==>  x∈A   
(ii) ∀A,B ∈P(M) : (A⊂B) ∧(B ⊂A) =⇒A= B (Antisymmetrie),

Entsprechend: Wenn für alle x gilt x∈A ==> x∈B

 und x∈B ==> x∈A  dann gilt A=B
(iii) ∀A,B,C ∈P(M) : (A⊂B) ∧(B ⊂C) =⇒A⊂C (Transitivität )

geht analog

Begr ünden Sie, ob diese Ordnungsrelation im Allgemeinen alternativ ist, d.h. f ür alle A,B ∈ P(M)
gilt eine der Inklusionen A⊂B oder B ⊂A.

Für {1,2}  und {2,3}

gilt keins von beiden.