ggT(a,b) = xa + by mit x,y ∈ ℤ?

Question

Aufgabe:

Laut einer Regel des ggTs kann man ggt(a,b) = xa +by darstellen. x und y sind elemente von ganzen Zahlen

Problem/Ansatz:

Meine Frage hierzu wäre ob das tatsächlich immer stimmt.

Da wenn ich für a=99 habe und für b=101, wäre der ggt=1

a*q1 + b*q2 = 1 ??

x und y würde ich doch nicht in ganzen Zahlen darstellen können damit diese Bedinung stimmt.

Answer 1

Das ist ja ein mathematischer Satz,

den man beweisen kann. Also

stimmt der immer:

-49*101 + 50*99

= -4949 + 4950 = 1

Answer 2

Hallo,

wenn a und b zwei ungerade Zahlen mit b-a=2 sind, hat die Gleichung

\(aq_1 + bq_2 = 1\)

die Lösung

\( a \cdot \frac{a+1}{2}+(a+2) \cdot \frac{1-a}{2}=1 \).

Also \(q_1= \frac{a+1}{2}\) und \(q_2= \frac{1-a}{2}\)

 :-)