Aloha :)
Das ist wieder so eine Aufgabe, in der man etwas ausrechnen soll, was eigentlich klar ist:
$$\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}$$
Warum ist das klar?
Der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer n-elementigen Menge genau k Elemente auszuwählen. Gebe ich zu einer (n-1)-elementigen Menge 1 neues Element hinzu und möchte k Elemente auswählen -- suche also \(\binom{n}{k}\) -- können folgende Fälle auftreten:
a) das neue Element wird nicht ausgewählt, dann muss ich aus den alten (n-1) Elementen genau k auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n-1}{k}\) Möglichkeiten.
b) das neue Element wird ausgewählt, dann muss ich aus den alten (n-1) Elementen noch genau (k-1) auswählen. Dafür gibt es \(\binom{n-1}{k-1}\) Möglichkeiten.
In Summe ist das genau der oben genannte Zusammenhang.\(\;\;\checkmark\)
Die Rechnung:
Formal kann man diesen Zusammenhang wie folgt zeigen:$$\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{k!\cdot((n-1)-k)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot((n-1)-(k-1))!}$$$$\qquad=\frac{(n-1)!}{k!\cdot(n-k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(k-1)!\cdot(n-k)!}$$$$\qquad=\frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{k!\cdot\underbrace{(n-k-1)!\cdot(n-k)}_{=(n-k)!}}+\frac{(n-1)!\cdot k}{\underbrace{(k-1)!\cdot k}_{=k!}\cdot(n-k)!}$$$$\qquad=\frac{(n-1)!\cdot(n-k)}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{(n-1)!\cdot n-(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}+\frac{(n-1)!\cdot k}{k!\cdot(n-k)!}$$$$\qquad=\frac{(n-1)!\cdot n}{k!\cdot(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\binom{n}{k}\;\;\checkmark$$
