Grenzwert bestimmen: Folgen und Reihen

Question

Aufgabe:

Grenzwert bestimmen: Folgen und Reihen:

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-2+3-4+\cdots-2 n}{\sqrt{1+n^{2}}}$

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\frac{1-2+3-4+\cdots-2n}{\sqrt{1+n^2}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(1+3+5+\cdots+(2n-1)\right)-\left(2+4+6+\cdots+2n\right)}{\sqrt{1+n^2}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(1+3+5+\cdots+(2n-1)\right)-2\cdot\left(1+2+3+\cdots+n\right)}{\sqrt{1+n^2}}$$Die erste Klammer im Zähler ist die Summe der ersten $n$ ungeraden Zahlen, die bekanntlich gleich $n^2$ ist. Die zweite Klammer ist die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen, die nach Gauß bekanntlich $\frac{n^2+n}{2}$ ist. Daher können wir weiter vereinfachen:$$\phantom{a_n}=\frac{n^2-2\cdot\frac{n^2+n}{2}}{\sqrt{1+n^2}}=\frac{n^2-(n^2+n)}{\sqrt{1+n^2}}=\frac{-n}{\sqrt{1+n^2}}=\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}}\to-1$$