Aloha :)
$$a_n=\frac{1-2+3-4+\cdots-2n}{\sqrt{1+n^2}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(1+3+5+\cdots+(2n-1)\right)-\left(2+4+6+\cdots+2n\right)}{\sqrt{1+n^2}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(1+3+5+\cdots+(2n-1)\right)-2\cdot\left(1+2+3+\cdots+n\right)}{\sqrt{1+n^2}}$$Die erste Klammer im Zähler ist die Summe der ersten \(n\) ungeraden Zahlen, die bekanntlich gleich \(n^2\) ist. Die zweite Klammer ist die Summe der ersten \(n\) natürlichen Zahlen, die nach Gauß bekanntlich \(\frac{n^2+n}{2}\) ist. Daher können wir weiter vereinfachen:$$\phantom{a_n}=\frac{n^2-2\cdot\frac{n^2+n}{2}}{\sqrt{1+n^2}}=\frac{n^2-(n^2+n)}{\sqrt{1+n^2}}=\frac{-n}{\sqrt{1+n^2}}=\frac{-1}{\sqrt{\frac{1}{n^2}+1}}\to-1$$
