Hallo :-)
Du kannst die Abschätzung \(n!\geq \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}\) verwenden, die für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 0}\) gilt.
Das kannst du mit Induktion beweisen.
Jetzt betrachte ich nur zuerst nichtnegativer Werte von \(r\), also \(r\in \mathbb{R}_{\geq 0}\). Jetzt schließe ich die Folge durch folgende Abschätzungskette ein:
$$ 0\leq a_n=\frac{r^n}{n!}\leq \frac{r^n}{\left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}=\left(\frac{\sqrt{2}\cdot r}{\sqrt{n}} \right)^n=\underbrace{\frac{\sqrt{2}\cdot r}{\sqrt{n}}\cdot ...\cdot \frac{\sqrt{2}\cdot r}{\sqrt{n}}}_{n\text{ mal}} $$
Wegen \(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sqrt{2}\cdot r}{\sqrt{n}}=0\) folgt auch \(\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{\sqrt{2}\cdot r}{\sqrt{n}}\right)^n=0\). Also ist \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0\).
Für \(r<0\) betrachte ich \(r:=-b\) mit \(b\in \mathbb{R}_{\geq 0}\). Dann hat man \(a_n=\frac{r^n}{n!}=\frac{(-1)^n\cdot b^n}{n!}\). Jetzt betrachte mal die beiden Teilfolgen \(a_{2\cdot l}\) und \(a_{2\cdot l+1}\) von \(a_n\) und nutze den Fall für nichtnegative Werte von \(a\) aus obiger Rechnung.
