Zeigen Sie: Die vier Raumdiagonalen des Spats schneiden sich in genau einem Punkt

Question

Aufgabe:

Im $$\mathbb{R}^3$$ sei P das von den linear unabhängigen Vektoren a,
b und c aufgespannte Spat.
Zeigen Sie: Die vier Raumdiagonalen von P schneiden sich in genau
einem Punkt.

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich den Schnittpunkt der vier Raumdiagonalen?

Answer 1

Der Einfachheit halber unterscheide ich nicht zwischen Ortsvektoren

und den zugeordneten Punkten.

Sei \(S(x,y)=\{s\cdot x+(1-s)\cdot y:\; s\in [0,1]\}\) die Verbindungsstrecke

zwischen \(x\) und \(y\). Dann haben wir die 4 Raumdiagonalen \(d_i\; (i=1,...,4)\):

\(d_1=S(0,a+b+c), \; d_2=S(a+c,b), \; d_3=S(a+b,c), \; d_4=S(b+c,a)\).

Indem man überall \(s=\frac{1}{2}\) wählt, sieht man leicht

\(\frac{1}{2}(a+b+c)\in d_i\) für \(i=1,2,3,4\).

Answer 2

Die Eckpunkte lassen sich durch die gegebenen Vektoren

ausdrücken. Wenn man sich \vec{a}  , \vec{b}  zum Aufspannen

des "Bodens" vorstellt und \vec{c}  zeigt nach oben, dann

haben die 4 Ecken des "Bodens" des Spats als Ortsvektoren

\( \vec{0}  , \vec{a}  , \vec{b} , \vec{a} +\vec{b} \) bei dem "Deckel" sind es dann

\( \vec{c}  , \vec{a} +\vec{c} ,\vec{b} +\vec{c}, \vec{a} +\vec{b} +\vec{c} \)

Eine Raumdiagonale geht also dann von dem Punkt mit dem Ortsvektor  \( \vec{0} \)

zu dem Punkt mit dem Ortsvektor \( \vec{a} +\vec{b} +\vec{c} \), hat also die

Geradengleichung \( \vec{x}=t \cdot (\vec{a} +\vec{b} +\vec{c}) \)

eine andere etwa von dem Punkt mit dem Ortsvektor \( \vec{a} \)

zu dem Punkt mit dem Ortsvektor \( \vec{b} +\vec{c} \), hat also

di Geradengleichung \( \vec{x}=\vec{a}+s \cdot (\vec{b} +\vec{c}-\vec{a} ) \)

Gleichsetzen gibt

\( t \cdot (\vec{a} +\vec{b} +\vec{c}) =\vec{a}+s \cdot (\vec{b} +\vec{c}-\vec{a})\)

<=> \( t \cdot \vec{a} +t \cdot \vec{b} +t \cdot \vec{c}=\vec{a}+s \cdot \vec{b} +s\cdot \vec{c}-s \cdot \vec{a}\)

<=> \( s \cdot \vec{a}+t \cdot \vec{a}-\vec{a}+t \cdot \vec{b}-s \cdot \vec{b} +t \cdot \vec{c}-s\cdot \vec{c} = \vec{0} \)

<=> \( (s +t - 1) \cdot \vec{a}+(t-s) \cdot \vec{b} +(t-s) \cdot \vec{c} = \vec{0} \)

Weil die Vektoren lin. unabh. sind, sind alle Klammern gleich 0,

also s=t=1/2 und der Schnittpunkt hat den

Ortsvektor \( \frac{1}{2} \cdot (\vec{a} +\vec{b} +\vec{c})\).

Zeige, dass dieser auch auf den anderen Raumdiagonalen liegt, und du bist fertig.