Partielle Integration ∫(x^10)*log(x) dx . Integral von 1 bis e bestimmen

Question

Ich soll von 1 bis e das Integral berechnen:

(x^10)*log(x)

Danke schonmal

Answer 1

Hi,

Partielle Integration: \(\int fg' = fg-\int f'g\)

Wähle: \(f=\ln(x)\) und \(g'=x^{10}\)

Es folgt: \(f' = \frac1x\) und \(g=\frac{x^{11}}{11}\)

Das ergibt:

$$\frac{x^{11}}{11}\ln(x) - \frac{1}{11}\int x^{10}\; dx$$

$$= \frac{x^{11}}{11}\ln(x) - \frac{x^{11}}{121}$$


Nun noch die Grenzen eingesetzt und man kommt auf etwa \(4948,28\).

Grüße

Comments

Danke, du bist heute meine Rettung :D

---

Das höre ich gerne :D.

Kein Ding! :)

Answer 2

Annahme log(x) ist der natürliche Logarithmus also ln(x)

ln(x) ' = 1/x

∫(x¹⁰)*log(x) dx = 1/11 x^11 * ln(x) - ∫ 1/11 x^11 * 1/x dx

= 1/11 x^11 * ln(x) - ∫ 1/11 x^10 dx

= 1/11 x^11 * ln(x) -  1/121 x^11        |₁^e

= 1/11 e^11 * ln(e) -  1/121 e^11 - (1/11 * 1^10 * ln(1) -  1/121 *1^11)

= 1/11 e^11 * 1 -  1/121 e^11 - (1/11 * 1*0  -  1/121)

= 1/11 e^11 -  1/121 e^11 +  1/121

=10/121 e^11 + 1/121

≈4948