Aloha :)
Surjektiv bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R\) mindestens 1-mal getroffen wird. Wir greifen uns also ein \(y\) aus dieser Zielmenge beliebig heraus und halten es fest. Nun prüfen wir, ob wir einen passenden "Schützen" aus der Definitionsmenge finden, der dieses \(y\) trifft:
$$\left.\frac{ax+b}{cx+d}=y\quad\right|\cdot(cx+d)$$$$\left.ax+b=ycx+yd\quad\right|-ycx-b$$$$\left.ax-ycx=yd-b\quad\right|\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.(a-yc)\cdot x=yd-b\quad\right|\colon(a-yc)$$$$x=\frac{yd-b}{a-yc}\quad\text{für }(a-yc)\ne0$$Wir können also für jedes \(y\) ein \(x\) finden, solange die Forderung \((a-yc)\ne0\) erfüllt ist.
Wählen wir aber \(y=\frac{a}{c}\) aus, gibt es kein \(x\) aus der Definitionsmenge, das dieses \(y\) trifft.
Die Funktion ist daher nicht surjektiv.